算符对易关系第三章.ppt

* 四、力学量算符的本征值问题 1．动量算符的本征值问题 2． ， 的本征值问题 3．中心力场问题 氢原子问题 五、力学量守恒 第三章 复习 　2．测不准关系 　3．算符的对易关系 　（1）基本对易关系 　（2）角动量算符的对易关系 * 例1：已知空间转子处于如下状态 试问： （1）Ψ是否是 L2 的本征态？ （2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ （3）求 L2 的平均值； （4）在 Ψ 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及 其相应的几率。 解： Ψ没有确定的 L2 的本征值，故Ψ不是 L2 的本征态。 * Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 （3）求 L2 的平均值 方法 I 验证归一化： * 归一化波函数 方法 II （4） * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系 1．算符的对易关系 设 和 为两个算符 若 ， 则称 与 对易 若 ， 则称 与 不对易 引入对易子： 若 ， 则 与 对易 若 ， 则 与 不对易 * 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续１） （1）力学量算符的基本对易关系 * 证明对易关系式 Ex Prove 设 为任一可微函数 特别地，当 代入上对易式，即证得 同理可证： 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续２） * prove: （2）对易恒等式 雅可比恒等式 双线性 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续３） * （3）角动量算符的对易关系 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续４） * Prove: 等于零 等于零 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续５） * 定理 prove: 2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义） 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续6） 设 是 和 的共同本征函数完全系，则 设 是任一状态波函数， 若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。 * 逆定理 prove: 设 是 的本征函数完全系，则 若算符 与 对易，则 （1） （2） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）式知， 和 都是 属于本征值 的本征函数，它们最多相差一个常数因子 ，即 可见， 也是 的本征方程的解。因此， 是 的本征函数完全系 若算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续7） * ★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。 ★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。 注 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续8） ★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了） * Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续9） 同时有确定值。 在 描述的状态中， 在 描述的状态中， 和 可同时有确定值: 　Ex.1　动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系 * Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。 Ex.4 坐标算符与动量算符不对易 ，故 一般不可同时具有确定值。 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续10） Ex.3 氢原子的算符 彼此对易： 它们有共同的本征函数完备系 故 可同时有确定值: 在 状态中， * （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量： Ex.2