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§ 1.4 Desargues透视定理 一、Desargues透视定理 一个古老、美丽、实用的重要定理！ 1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargues 点. 若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues 线. 问题 请问你是怎样画出这两个图的？ 画图过程演示 一、Desargues透视定理 1、两个三点形的对应关系 2、Desargues透视定理 定理 (Desargues透视定理及其逆) 注1、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形. § 1.4 Desargues透视定理 证明 Desargues定理画图过程演示 一、Desargues透视定理 2、Desargues透视定理 注2、关于Desargues构图. 左图表示了一对透视的三点形ABC, ABC. 左图中共有10个点、10条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点. 这10点, 10线地位平等，此图称为Desargues构图. § 1.4 Desargues透视定理 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z. 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母, 试 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BC?EF=X, CA ?FD=Y, AB?DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线. 所以, 由三点形ABC?DEF的对应即得结论. § 1.4 Desargues透视定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R. 得到P, Q, 设PQ, PQ交于C.只要证明A, B, C三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, PQR正是所需. 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点. § 1.4 Desargues透视定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线. 引申：同理可证 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC ? RQ, B1=AC ? RP, C1=AB ? PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线. § 1.4 Desargues透视定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：设动点P的另一个位置为P, 依题意作图, 得交点X, Y. 考察三点形AXX与BYY, 因为其对应边的交点P, C, P共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, XY共点, 此点为AB上的定点. 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的定直线上的动点, AP ? BC=X, AC ? BP=Y. 求证：XY经过定点. 思考：考察三点形PXY与PXY进行证明. 思考：本题实际上与例2为同一个题目！ § 1.4 Desargues透视定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形ZBC和YLM, 有透视轴A, X, D. 即得结论. 2、不可及点的作图问题 注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图. 例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形, XZ分别交AC, BD于L, M. 求证：YZ, BL, CM共点. 思考：还能有其他方法吗？ § 1.4 Desargues透视定理 二、应用举例 2、不可及点的作图问题 例6. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不作出a, b的交点a ? b, 过P求作直线c, 使c经过a ? b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3.