线性二次型指标的最优控制.ppt

* 8.3 线性定常系统的状态调节器问题 ◆王朝珠，秦化淑，《最优控制理论》，科学出版社，2003. * 8.4 输出调节器问题 线性时变系统输出调节器问题 1 举例 3 线性时不变系统输出调节器问题 2 Beihang University ? 设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下 以及性能指标 要求确其中，P 和Q(t)是半正定矩阵，R(t)是正定矩阵，tf是有限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调节作用u*(t),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量y(t)保持在零值附近。 y(t)=C(t)x(t) Beihang University 将输出方程 代入性能指标 得到 状态调节器的性能指标函数 Beihang University 在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中 和 也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统 和性能指标 Beihang University 最优控制存在且唯一 K(t)为下列Riccati矩阵微分方程的解 满足边界条件 最优轨线是下列线性微分方程的解 Beihang University 结论： ?最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的线性函数，而仍然是状态向量x(t)的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即 ?有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在Riccati方程及其边界条件的形式上有微小的差别。 Beihang University 前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果系统是线性时不变系统，即 当tf =?时其输出调节器问题可以参照tf =?的状态调节器问题，得到相应的控制规律。但是，同时要求系统(A,B,C)是完全可控和完全可观测的。即 完全可观 完全可控 其性能指标为 u(t)不受约束，Q和R是正定常数矩阵，则最优控制存在且唯一，并且由下式确定 K满足Ricatti矩阵代数方程 Beihang University K(∞)=P=0 最优状态满足 特征值具有负的实部 Beihang University 例 设系统状态空间表达式为： 性能指标为 试构造输出调节器，使性能指标最小。 Beihang University 解： 因为 系统完全能控和能观。故最优控制 存在。 Beihang University 令 ，由Riccati方程 得 P是正定的。 Beihang University 最优控制为 闭环系统的状态方程为 得到闭环系统的特征值 闭环系统线性稳定。 Beihang University 原系统的脉冲响应曲线 Beihang University 输出反馈后系统的脉冲响应曲线 * * * * * * * * 第8章 线性二次型指标的最优控制 8.3 线性定常系统的状态 调节器问题 8.4 输出调节器问题 李芳燕 罗婧 李一飞 李东芳 安海潮 8.3 线性定常系统的状态调节器问题 问题引入 1 举例说明 3 定理内容及说明 2 Beihang University 对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。 Beihang University 由例8-1的结果，从结果图中受到启发，当终端时间tf趋于无穷时，K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值。 tf =1