线性方程组的理论在数学各分支及其他许多领域被广泛应.pptVIP

第三章 1.消元法 1.消元法（续） 2. n维向量 2. n维向量（续） 3. 线性相关性 3. 线性相关性（续1） 3. 线性相关性（续2） 4. 矩阵的秩 4. 矩阵的秩（续1） 4. 矩阵的秩（续2） 5. 线性方程组有解判别定理 6. 线性方程组解的结构 6. 线性方程组解的结构（续1） 6. 线性方程组解的结构（续2） 6. 线性方程组解的结构（续3） * * 　　线性方程组的理论在数学各分支及其他许多领域被广泛应用着.本章围绕线性方程组的三个中心问题展开讨论. 　　首先介绍了古老但仍被广泛使用的求解线性方程组的消元法，其次是对线性方程组的解的情况得讨论，最后利用向量空间的概念研究了线性方程组的解的结构. 　　本章主要内容有： 两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.消元法就是把线性方程组进行变换，化成一个与之同解的便于求解的方程组，从而得到原方程的解. 定义1 下列变换1，2，3称为线性方程组的初等变换： (1) 用一非零的数乘某一方程； (2) 把一个方程的倍数加到另一个方程； (3) 互换两个方程的位置. 初等变换总是把方程组变成同解的方程组. 定理1 在齐次线性方程组 中，如果 ，那么它必有非零解. 定义2 数域 上一个 维向量就是由数域 中 个数组成的有序数组 (1) 其中， 称为向量(1)的第 个分量. 定义3 如果 维向量 的对应分量都相等，即 则称这两个向量是相等的.记作 定义4 向量 称为向量 的和，记为向量的线性运算满足： 如果 那么 定义9 向量 称为向量组 的一个线性组合，如果有数域 中的数 ，使得 定义10 如果向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出，那么向量组 就称为可以经向量组 线性表出.如果两个向量组可以互相线性表出，则它们称为等价的. 向量组之间的等价有以下性质： 1) 反身性 ,2) 对称性, 3) 传递性. 定义11　如果向量组 　中有一向量可以经其余向量线性表出，那么向量组 　称为线性相关的. 定义11′　向量组 称为线性相关的，如果有数域 中不全为零的数 ，使 上面关于向量组线性相关的两个定义是等价的. 定理2 设 与 是两个向量组.如果 1) 向量组 可以经 线性表出， 2) ， 那么向量组 必线性相关 . 定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关. 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 定义15 矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 定理4 矩阵的行秩与列秩相等. 引理 如果齐次线性方程组 的系数矩阵 的行秩 ，那么它有非零解. 定理5 矩阵 的行列式为零的充分必要条件是 的秩小于 . 定义16 在一个矩阵 中任意选定 行 列，位于这些选定的行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 阶行列式，称为 的一个 级子式. 定理6 一个矩阵的秩是 的充分必要条件为矩阵中有一个 阶子式不为零，同时所有的 级子式全为零. 矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.我们知道，等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样地，初等列变换也不改变矩阵的秩.阶梯形矩阵的秩就等于其中非