必修二直线与平面垂直的判定.ppt

* * * * * 2.3.1 直线与平面垂直的判定 新课导入 请同学们观察图片,说出旗杆与地面是什么位置关系？ 请同学们观察图片,说出大桥桥柱与水面是 什么位置关系？ 旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？ 旗杆与地面、大桥桥柱与水面以直线和平面垂直的形象.那么直线和平面垂直的定义究竟是什么？怎么样判断它们垂直？ （1）如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？ （2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a的位置关系又是什么？ 观察 C C1 B1 A B C C1 B1 A B 可以观察到，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直。也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点B的直线垂直。事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条直线垂直。 直线与平面垂直的定义: 如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α。 α P l 直线 l 叫做平面α的垂线, 平面α叫做直线 l 的垂面, 直线 l 与平面α的交点P叫做垂足。 直线和平面垂直的画法 α P l 注：画直线与水平平面垂直时， 要把直线画成和表示平面的平 行四边形横边垂直。 在长方体ABCD- A‘B’C‘D’中， AA‘⊥面ABCD， AA’⊥面A‘B’C‘D’， AB⊥面ADD‘A’， AB⊥面BCC‘B’， AD⊥面AA‘B’B， AD⊥面CDD‘C’。 探究 如下图，请同学们准备一块三角形的纸片。 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）. （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面α垂直？ 结论：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。 （1）如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 思考 b a α 不能判定这条直线和这个平面垂直 （2）如果一条直线垂直于平面内的两条垂直， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ b a α b a α c 如果两条直线平行不能判定 如果两条直线相交 能够判定 （3）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？ b a α 也不能判定这条直线和这个平面垂直 直线和平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直。 符号表示： 图形表示： 简述为： 线线垂直，则线面垂直 线不在多，重在相交 例一 如图，已知 ，求证： 　　。 根据直线与平面垂直的定义知a⊥m,a⊥n。 又因为b//a, 所以b⊥m,b⊥n。 又 是两条相交直线， 所以b⊥α。 证明：在平面 α内作 两条相交直线m，n。 因为直线a⊥α， 如图，在正方体AC1中，求证： (1)AC⊥平面D1DB ;(2)D1B⊥平面ACB1。 例二 C1 B D1 A C A1 D B1 证明： (1)∵DD1⊥面AC ∴DD1⊥AC 又∵AC⊥BD, ∴AC⊥平面D1DB 。 (2)的证明大家自己完成。 如图，已知OA、OB、OC两两垂直求证： （1） OA⊥平面OBC;（2）求证：OA⊥BC。 B C O A 分析：（1）要证OA⊥平面OBC，必须在平面OBC中找出两条与OA垂直的相交直线.因为OA、OB、OC两两垂直OA⊥OB、OA⊥OC,且OB∩OC=O； （2）OA⊥平面OBC，OA垂直平面内任意一条直线。 例三 直线和平面所成的角： 如图所示，一条直线PA和平面α相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。 斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。 P A O 若直线垂直于平面，规定它们所成的角是90°的角，为直角；若直线与平面平行或在直线内，规定它们所成的角为0°的角。 注意： p点为斜线上任意一点，p点的不同不会影响直线与平面所称的角。 P A O 故直线与平面所称的角的范围是：（0，） C1 B D1 A C A1 D B1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1D与平面ABCD所成的角是多少？找出这个角，并计算其度数。 ∠B1DB即为所求角， 它的正弦为 。 课堂小结 证明直线与平面垂直的方法： （1）利用定义: （2）利用判定定理: 线线垂直 线面垂直 直线与平面内每条直线都垂直 关键：线不在多，相交则行。 P A O 斜线和射影所