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桥梁设计理论第五讲要点
第五讲 薄壁箱梁的自由扭转
第一节 基本假定
在材料力学中,我们曾经讨论过圆截面杆的扭转问题,那时,我们假定杆件变形后截面保持为平面,只是相对地转动了一个角度,而截面的大小和形状都保持不变。这个假定对于圆截面杆来说是比较符合实际情况的,那么对于非圆截面的杆在扭转时,这个“平截面假定”不符合实际情况了,也就是说原来的平截面将产生“翘曲”,即截面可以产生沿轴线方向的位移。
当截面纵向翘曲不受约束,截面上只存在扭转剪应力而无正应力时,这种扭转称为“自由扭转”或“纯扭转”,或“圣维南扭转”。
实际工程结构中由于支承条件(支座或横隔板)、扭转力矩沿杆轴的不均匀分布等原因,杆件纵向位移往往受到约束,这时杆件截面上除存在自由扭转剪应力外,尚有因纵向位移受约束而产生的附加正应力及其相应的附加剪应力,这种扭转称为约束扭转。约束扭转产生的附加正应力及和剪应力称为翘曲正应力和翘曲剪应力。
在薄壁杆件自由扭转线性分析中,除线弹性、小变形(第第节所述假定2、3)假定有效外,还采用截面周边投影不变形假定。该假定认为,杆件受扭转变形后,其截面周边在原有平面)内投影形状不变。即截面可以产生沿轴线方向(方向)的位移(称为截面的纵向翘曲)。也就是说,在发生纵向翘曲后截面不再为平面(平面假定无效)。
自由扭转的基本方程
观察图5-1所示实体截面,设为杆件截面的扭转角,杆件截面上任一点仅存在剪应力和剪应变以及相应的面内位移及纵向翘曲位移。
(5-1)
按弹性理论,在
(5-2)
轴转动5-2a),截面内任一点,由图5-2a)有:
及
则 (-3)
5-2),
第一式对求导,第二式对求导,两者相减得到:
(5-4-1)
-1)代入上式有:
(5-4-2)
5-1,截面内力
(5-5)
轴方向的平衡条件可得
(5-6)-4)、-5)、(-6)可以求解及,实际上对于任意形状截面和任意支承条件的杆件,由这些方程直接求解,往往存在数学上的困难,故在下一节中将介绍“薄膜比拟法”。为便于进行“薄膜比拟”,现引入Aires应力函数,将式(5-4)和式(5-6)联立,可得到关于应力函数和扭转角的微分方程。
观察式(5-6),定义应力函数,使得
(5-7)
于是平衡方程式(5-6)自动满足,将式(5-7)代入式(5-4)、式(5-5)后,便得到以应力函数表达的微分方程
(5-8)
其中第二式推导如下:
将由应力函数表达的剪应力式(5-7)代入式(5-5)有:
(a)
注意到,以及,。则式(a)参照图5-3可表达为:
(b)
应用分部积分法,式(b)中第一项
(c)
5-7)可知,剪应力为一阶偏导数,而在截面周边上,可取,式(c)中即有:
c)可得:
d)
同样可得出式(b)的第二项
(e)
将式(d)、式(e)代入式(b)后得到:
此外,也可按如下更为简捷的方法证明。
将代入式(a),则有:
(f)
根据Green定理,式(f)右边第一项积分
(g)
即沿截面的面积积分,可转化为沿周边、分别为边界法线的方向余弦。对于在扭矩作用下的实体截面,其边界上有,故式(g)应等于零,于是得到:
L.Prantl于1903年首先提出应用薄膜比拟法求解杆件的自由扭转问题,不但直观方便,而且也为实验方法提供了基础。
在自然界中有一些本质上完全不同的物理现象,却可以用同样的数学规律来描述。这样,如果我们借助于某种实验或近似方法,对其中一种物理现象取得有关的量,从而推出另一种物理现象的。这种方法称为比拟法。我们即将介绍的薄膜比拟法,便是利用扭转问题的应力函数,与在均布横向力作用下张紧的薄膜垂度之间在数学上的相似性来求解扭转方法。
其基本思想是:利用杆件自由扭转时应力函数微分方程与均布压力作用下薄膜挠度微分方程的数学相似性,对
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