群中元素的阶.pptVIP

定理１有限群中每个元素的阶均有限。 布置作业 P４４ 第１、5题 * 数学与信息科学系 授课教师: 近世代数 §2.2　群中元素的阶 规定 如果这样的　不存在，则称　的阶为无限 （或称是零）。 元素 的阶常用　表示。 定义１　设　为群　的一个元素，使 的最小正整数　，叫做元素　的阶。 的阶是　　 例１在　次单位根群　　　　　　中，　　　　　 的阶是　 的阶都是　 其余元素的阶均无限。 的阶是　　 例２ 在正有理数乘群　中， 例３ 在非零有理数乘群　中， 的阶是　　 的阶是　 其余元素的阶均无限。 群 周期群 无扭群 混合群 若　中除　外，其余元素的阶 均无限。 都有限。 若群　中每个元素的阶 既不是周期群 又不是无扭群的 群。 证明：设　为　阶有限群， 任取 , 则　　　　　 中 必有相等的。 设 则 从而　的阶有限。　　　　　　　　　　 证明：设　　　，并令　　 则由于　　　，故 但 故必 从而 反之，设　　且令　　　，　　 因 故 定理２ 设群　中元素　的阶是　，则 例4 证明：群中以下每组中的元素有相同 的阶： 定理３若群中元素　的阶是　，则　 证明：设　　　　 且　　 故有 其次，设　　　　，则　　　 。 由定理２知 但 故 因此， 推论１在群中设　　　，则　　　，其中 是正整数。 推论２在群中设　　　，则　　　 定理４若群中元素　　　　　　，则当 且　　　　时，　　　 证明： 由于 故 设 则 但 故 又因 故 同理可得 再根据 故 从而 注 １．定理中的条件　　　不能少。 在有理数域上二阶线性群　　　中， ２．定理中的条件　　　　不能少。 但 的阶无限。 的阶分别为 但 与 的阶都无限， 的阶为 小 结 元素的阶的定义 　元素的阶的性质 群的分类 *