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定理1有限群中每个元素的阶均有限。 布置作业 P44 第1、5题 * 数学与信息科学系 授课教师: 近世代数 §2.2 群中元素的阶 规定 如果这样的 不存在,则称 的阶为无限 (或称是零)。 元素 的阶常用 表示。 定义1 设 为群 的一个元素,使 的最小正整数 ,叫做元素 的阶。 的阶是 例1在 次单位根群 中, 的阶是 的阶都是 其余元素的阶均无限。 的阶是 例2 在正有理数乘群 中, 例3 在非零有理数乘群 中, 的阶是 的阶是 其余元素的阶均无限。 群 周期群 无扭群 混合群 若 中除 外,其余元素的阶 均无限。 都有限。 若群 中每个元素的阶 既不是周期群 又不是无扭群的 群。 证明:设 为 阶有限群, 任取 , 则 中 必有相等的。 设 则 从而 的阶有限。 证明:设 ,并令 则由于 ,故 但 故必 从而 反之,设 且令 , 因 故 定理2 设群 中元素 的阶是 ,则 例4 证明:群中以下每组中的元素有相同 的阶: 定理3若群中元素 的阶是 ,则 证明:设 且 故有 其次,设 ,则 。 由定理2知 但 故 因此, 推论1在群中设 ,则 ,其中 是正整数。 推论2在群中设 ,则 定理4若群中元素 ,则当 且 时, 证明: 由于 故 设 则 但 故 又因 故 同理可得 再根据 故 从而 注 1.定理中的条件 不能少。 在有理数域上二阶线性群 中, 2.定理中的条件 不能少。 但 的阶无限。 的阶分别为 但 与 的阶都无限, 的阶为 小 结 元素的阶的定义 元素的阶的性质 群的分类 *
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