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In our classes, all the mobile phones should be switched off ! 上课啦! The class is begin! 第二章 群 论 §9群同态基本定理与同构定理 (2 课 时) (Homomorphism and normal subgroup) 本讲的教学目的和要求:在上讲中我们已经了解到:
对群的任一个不变子群,都可极其自然地得到一个
新的群——商群。由此,我们都不会怀疑不变子群
与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示
这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确立了不
变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中,我
们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群的同
态象可以设想是的一个“粗略”的模型;忽略了
中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系。
每一个同态核都是不变子群;
(与同态是否单、满无关)
由自然同态得:每个同态象都是商群,如何理解。
真正了解“同态三角形”的可交换问题。
不变子群的同态象和同态完全原象的联系。
本讲的重点和难点:本节是以子群和商群为基本语言,
用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。所以领会其
理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。
一、群同态及同态核
定义1:设是一个群同态映射,
(即),
那么的单位元的全部原象(逆象)作成的集合
叫做的核,记为。
即 .
证明:设..∴.
.故.∴.
..∴.
由上知.
,
∴;由上知。
结论2:设是的群同态映射的核,
那么 是单同态.
证明:. .而显然且.
于是.但是单射.
由的任意性知.
设且有,
即 .即.
∴是单射.
说明1:(1)对上述的同态满射习惯上称作是群的自然同态。之所以这样称呼,除了的对应法
则极其自然外,还告诫我们与之间的同态满射
还有其余的。
由定义1知,自然同态必有同态核,易
知,自然同态的同态核恰是。因为
Ker={}={}=
(3)定理3表明,群的每个商群都为的同态象。而且
能够以为核将这个同态关系表现出来。于是由同态象的意
义(传递性)知:的每个商群都会在某些方面有些象
,进而,可由商群的某些性质去推测群的一些性质。
一般来说,商群要比简单些,(因为是的元素以为
模归类做成的陪集而形成的群),所以,为我们在研究上带
来方便。
除了上述外,定理3的重要性还在于它具有某些完备性
——的每一个同态象就是的商群(在同构下)
定理3 设是群的任一正规子群,则,即任何群均
与其商群同态.
证明 在群与商群间建立以下映射:
这显然是到的一个满射.又任取,则有
,
即是到的一个同态满射,故.
称群到商群的这个同态满射为到商群的自然同态
由群的一个子群可以去推测整个群的性质.
假如有一个正规子群,就同时有两个群供我们利用,
一个是本身,另一个就是商群.定理1又告诉
我们,与同态,这样我们自然更容易推测的
性质.
正规子群的重要性不仅在这一方面,因为在一定意
义下定理1的逆定理也成立.
定理4 (群同态基本定理) 设是群到群的一个同态满射,则
Ker,且.
证明 首先,令.设是的单位元,则
(e)= ,所以
..
所以,N是的一个子群.
又 ,
所以,N是的一个正规子群.
其次,在与间规定一个对应法则,令.
1) 设,则即,使得,这时
,
所以.即中的每个陪集在之下有唯一的象,从而,
为到的一个映射;
2) ,则因是满射,故有使.从而在
之下元素在中有逆象,即为到的一个满射;
3)又若=,则,从而,即
,于是,因此
,即为到的一个单射.
综上,是到的一个双射.
4) ,则
故为同构映射,从而。
定理3表明,任何群都与它的商群同态;定理4表明,如果一个
群与另一个群同态,则这个群在同构意义下是的一个商群。
因此,在同构意义下,定理3与定理4的意思是:每个群能而且只能
与它的商群同态.从这里我们看到,正规子群与商群的重要意义.同态
定理既有理论上的价值,也有方法上的意义 ,在群论的理论中占有重要
的地位.
定理5 (第一同态定理) 设是群到群的一个同态满射,又
Ker,则.
证明
因为,又是满同态,故.现令
().
下证是商群到的一个同构映射.
1)是映射.设,则.由于是
同态满射,故
,即.
从而,即是到的映射;
2)是满射.任取,则因是满同态,故有
使.从而在之下有逆象,即是满射.
3)是单射.设,则,即
.但为满同态且,
故有使或,其中是
的单位元
于是Ker.但是Ker,故.
从而,即是单射.因此,是双射.又因为在之下有
,
故是到的一个同构映射.因此.
结论1:设是群同态映
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