群同态基本定理与同构定理.pptVIP

In our classes, all the mobile phones should be switched off ! 上课啦！ The class is begin! 第二章 群 论 §9群同态基本定理与同构定理 (2 课 时) （Homomorphism and normal subgroup) 本讲的教学目的和要求：在上讲中我们已经了解到： 对群的任一个不变子群，都可极其自然地得到一个 新的群——商群。由此，我们都不会怀疑不变子群 与商群具有密切的联系。而本节的基本内容就是要揭示 这个内在联系——群的同态基本定理。该定理确立了不 变子群与商群在群的理论中的重要地位。在本节中，我 们将会学会重新看待“同态象”的有关概念。群的同 态象可以设想是的一个“粗略”的模型；忽略了 中的某些元素间的差异而又维持了其中的运算关系。 每一个同态核都是不变子群； （与同态是否单、满无关） 由自然同态得：每个同态象都是商群，如何理解。 真正了解“同态三角形”的可交换问题。 不变子群的同态象和同态完全原象的联系。 本讲的重点和难点：本节是以子群和商群为基本语言， 用群同态映射为纽带建立了一套同态理论。所以领会其 理论的实质和掌握每个知识点的要领是关键所在。 一、群同态及同态核 定义1：设是一个群同态映射， （即）， 那么的单位元的全部原象（逆象）作成的集合 叫做的核，记为。 即 . 证明：设..∴. .故.∴. ..∴. 由上知. ， ∴；由上知。 结论2：设是的群同态映射的核， 那么 是单同态. 证明：. .而显然且. 于是.但是单射. 由的任意性知. 设且有, 即 .即. ∴是单射. 说明1：（1）对上述的同态满射习惯上称作是群的自然同态。之所以这样称呼，除了的对应法 则极其自然外，还告诫我们与之间的同态满射 还有其余的。 由定义1知，自然同态必有同态核，易 知，自然同态的同态核恰是。因为 Ker={}={}= （3）定理3表明，群的每个商群都为的同态象。而且 能够以为核将这个同态关系表现出来。于是由同态象的意 义（传递性）知：的每个商群都会在某些方面有些象 ，进而，可由商群的某些性质去推测群的一些性质。 一般来说，商群要比简单些，（因为是的元素以为 模归类做成的陪集而形成的群），所以，为我们在研究上带 来方便。 除了上述外，定理3的重要性还在于它具有某些完备性 ——的每一个同态象就是的商群（在同构下） 定理3 设是群的任一正规子群，则,即任何群均 与其商群同态． 证明 在群与商群间建立以下映射： 这显然是到的一个满射．又任取，则有 ， 即是到的一个同态满射，故． 称群到商群的这个同态满射为到商群的自然同态 由群的一个子群可以去推测整个群的性质. 假如有一个正规子群,就同时有两个群供我们利用, 一个是本身,另一个就是商群.定理1又告诉 我们,与同态,这样我们自然更容易推测的 性质. 正规子群的重要性不仅在这一方面,因为在一定意 义下定理1的逆定理也成立． 定理4 (群同态基本定理) 设是群到群的一个同态满射,则 Ker，且． 证明 首先，令.设是的单位元,则 (e)= ,所以 .. 所以，N是的一个子群. 又 , 所以，N是的一个正规子群. 其次，在与间规定一个对应法则,令. 1) 设，则即,使得,这时 , 所以.即中的每个陪集在之下有唯一的象，从而， 为到的一个映射； 2) ，则因是满射，故有使．从而在 之下元素在中有逆象，即为到的一个满射； 3)又若=，则，从而,即 ,于是,因此 ,即为到的一个单射． 综上，是到的一个双射． 4) ,则 故为同构映射，从而。 定理3表明，任何群都与它的商群同态；定理4表明，如果一个 群与另一个群同态，则这个群在同构意义下是的一个商群。 因此，在同构意义下，定理3与定理4的意思是：每个群能而且只能 与它的商群同态．从这里我们看到,正规子群与商群的重要意义.同态 定理既有理论上的价值,也有方法上的意义 ,在群论的理论中占有重要 的地位. 定理5 (第一同态定理) 设是群到群的一个同态满射，又 Ker，则. 证明 因为，又是满同态，故．现令 ()． 下证是商群到的一个同构映射． 1)是映射.设，则．由于是 同态满射，故 ,即． 从而，即是到的映射； 2)是满射.任取，则因是满同态，故有 使.从而在之下有逆象，即是满射． 3)是单射.设，则,即 .但为满同态且， 故有使或,其中是 的单位元 于是Ker．但是Ker，故. 从而，即是单射.因此，是双射．又因为在之下有 , 故是到的一个同构映射.因此. 结论1：设是群同态映