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椭圆型偏微分方程实验报告要点
实验报告
实验项目名称 椭圆型偏微分方程
实 验 室 数学实验室
所属课程名称 微分方程数值方法
实 验 类 型 算法设计
实 验 日 期 2014年6月6日
班 级
学 号
姓 名
成 绩
实验概述: 【实验目的及要求】
实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题,进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代码解决Possion问题。
【实验原理】
对于简单的椭圆型偏微分方程 Poission 方程:
采用正方形网格剖分正方形区域 Ω ,对 x 和 y 方向采用中心差分并记
则对Poission方程离散后差分格式可写成;
改写为
由此得Peaceman-Rachford 迭代格式为
其分量形式为
将以上两步写成矩阵形式,第一步迭代为:
第二步迭代为:
这里的 gij 和 gij 分别为
迭代参数可取为:
实际上每个迭代步相当于解N ? 1个系数矩阵为三对角阵的N ? 1阶线性代数方程组,可用追赶法求解。
【实验环境】(使用的软硬件)
软件:
MATLAB 2012a
硬件:
电脑型号:联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统:Windows 8 专业版
处理器:Intel(R)Core(TM)i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz
实验内容: 【实验方案设计】
利用Peaceman-Rachford迭代格式求解
求解域Ω : 0 ≤ x, y ≤ 1,其精确解为u = sin πx sin πy。
首先利用上述原理进行分析,从而利用Matlab软件编写出相应程序。
【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)
我们首先编写一个m文件,包含交替方向迭代法程序如下:
function u=alter(a0,b0,f,h)%输入-a0为x,y方向起始端点;%-b0为x,y方向终点;%-f为方程右端函数;%-h为网格步长;%输出-u为解矩阵。p=200;N=fix((b0-a0)/h);u=zeros(N+1);v=zeros(N+1);g=zeros(N+1);x=a0:h:b0;y=x;tau=h*h/(2*sin(pi*h));a=-tau*ones(1,N-2);c=a;d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);for k=1:perr=0;for i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j)));endv(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i));endfor i=2:Nfor j=2:Ng(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j)));t=abs(u(i,j)-v(i,j));if (errt)err=t;endendu(i,2:N)=trisys(a,d,c,g(i,2:N));endif (err1e-4)errkbreak;endk=k+1;end
取步长h = 0.2,迭代残差为10-4。
然后在Command Window里编写如下程序:
f=inline(2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y),x,y);a0=0;b0=1;h=0.2;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)
运行结果如下所示:
err =6.4665e-05k =9将步长缩小为h = 0.1,迭代残差为10-4。
然后在Command Window里编写如下程序:
f=inline(2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y),x,y);a0=0;b0=1;h=0.1;u=alter(a0,b0,f,h);x1=a0:h:b0;y1=a0:h:b0;surf(x1,y1,u)
运行结果如下所示:
err =7.3408e-05
k =19
【结论】(结果)
本次实验通过
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