椭圆型方程的差分解法.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 20  MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT  SEQ MTChap \r 2 \h \* MERGEFORMAT 椭圆型方程的差分解法 1.引言 考虑问题 = 1 \* GB3 ①二维Poisson方程 ， 其中为中的一个有界区域，其边界为分段光滑曲线。在上满足下列边界条件之一：  = 1 \* GB2 ⑴（第一边值条件），  = 2 \* GB2 ⑵（第二边值条件），  = 3 \* GB2 ⑶（第三边值条件）， 都是连续函数，. 2.差分格式 将区间作m等分，记为；将区间作n等分，记为.称为方向的步长，为方向的步长。 2.1 Poisson方程五点差分格式 参考单如图所示： j+1 j j-1 i+1 i-1 i 以为中心沿方向Taylor展开：  = 1 \* GB3 ①  = 2 \* GB3 ② 由 = 1 \* GB3 ① +  = 2 \* GB3 ② 得： 整理得到：  = 3 \* GB3 ③ 同理，以为中心沿方向Taylor展开：  = 4 \* GB3 ④ 代入原方程得 EQ \o\ac(○,5)： 得到截断误差： 其中是原方程光滑解，舍去截断误差得到逼近Poisson方程的五点差分方程：  EQ \o\ac(○,6) 考虑到边值条件，构成差分格式：  EQ \o\ac(○,7) 2.2 Poisson方程九点差分格式 由上式 = 3 \* GB3③ + = 4 \* GB3④ 得：  EQ \o\ac(○,8) 又 则得到：  EQ \o\ac(○,9) 舍去截断误差得到逼近Poisson方程的九点差分方程 EQ \o\ac(○,10)： 考虑到边值条件，构成差分格式 EQ \o\ac(○,11)： 格式求解 3.1 Poisson方程五点差分格式 记， 矩阵格式改写为： ， 其中 ， ，， 可进一步写为： 3.2 Poisson方程九点差分格式 记， 矩阵格式改写为： ， 其中 ， ，， 可进一步写为： 4.数值例子 4.1 Poisson方程五点差分格式 计算如下问题： 其精确解为： 考虑到本例中h1=h2，则有 利用Gauss-Seidel迭代方法对k=0,1,2,……,计算 表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解 (h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/4)(3/4,1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)1.5626222.0065892.5760251.8157532.3314922.993189(1/8,1/8)1.5620992.0056822.5751831.8150312.3305222.992321(1/16,1/16)1.5618362.0054462.5750131.8148082.3302692.992092(1/32,1/32)1.5617942.0053382.5794591.8146762.3302202.992003(1/64,1/64)1.5616742.0053582.5749371.8147432.3302762.992011精确解1.5617812.0054372.5746941.8147492.3301832.992014 表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值 (h1,h2)(x,y)(1/4,1/4)(1/2,1/4)(3/4,1/4)(1/4,3/4)(1/2,3/4)(3/4,3/4)(1/4,1/4)8.4094e-040.00120.00119.0500e-040.00130.0012(1/8,1/8)2.1769e-043.1498e-042.8202e-042.3451e-043.3891e-043.0635e-04(1/16,1/16)5.4874e-057.9388e-057.1220e-055.9144e-058.5448e-057.7433e-05(1/32,1/32)1.3096e-051.9001e-051.7247e-051.4215e-05