(高等数学期末复习试题）10级期末下.doc

A卷 2010—2011学年第二学期 《高等数学（2-2）》期末试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2011年6月28日 页 号 一 二 三 四 五 总分 本页满分 32 16 16 16 12 本页得分 阅卷人 注意事项： 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共5页。 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 2．设,则= 3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则 . 4．设曲线为圆周,则曲线积分= 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线为平面为,则 （ C ） . (A) 平行于平面 (B) 在平面上 (C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直 2．设有空间区域，则等于 （ B ）. (A) (B) (C) (D) 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）. (A) (B) (C) (D) 4. 设是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A） 若收敛，则也收敛 （B）若收敛，则也收敛 （C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数具有二阶连续偏导数，，求. 解： -------------------3 -------------------4 -------------------1 2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数. 解：曲线在点(1,2)处的切向量， ---------------------3 -----------3 函数在点（1,2）沿方向的方向导数为 ---------------------------2 3．计算其中. 解-------(3) ---------------(3) = --------------(2 ) 4. 设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量. 解：由题意知密度函数 法1： -----------1 质量M= --------1 k ---------4 = ---------2 法2： ----------1 ------1 -----4 = -------2 法3： 5．计算曲线积分，其中是曲线沿逆时针方向一周. 解： ----------3 ----------3 -------2 6. 计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧． 解： 7．求幂级数的和函数。 解:幂级数的收敛半径，收敛域为--------------------------1 时， = -----------------------5 时， -----------------2 四．证明题（本题4分） 证明下列不等式成立：，其中. 证明：因为积分区域关于直线对称， ----2 = --------------2 五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为 （1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。 （2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在的边界线上