解析几何坐标系变换.pptVIP

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这说明 在 中的坐标为 用矩阵表示为: 向量的坐标变换公式: 下面讨论点的坐标变换公式。设点M在 和 中的坐标分别为 ,它们分别是向量 在 中的坐标和向量 在 中的坐标。 由公式得 在 中的坐标为 由于 ,如果设点 在 中的坐标为 ,则 这就是点的坐标变换公式的矩阵形式。点的坐标变换公式的一般形式为 曲面的方程的变换公式。 设S是一张曲面,它在 中的一般方程为 求它在 中的一般方程。 对于点M,如果它在 中的坐标为 ,则在 中的坐标为 因此点M在S上充要条件为: 把上式左端的函数式记作 则 是S在 中的一般方程,称它为由S在 中的方程 经过坐标变换化为S在 中的方程。 过渡矩阵的性质 因为 中的坐标向量 是不共面的,所以过渡矩阵的行列式 ,即 是满秩矩阵。 命题 设有三个仿射坐标系 。 到 的过渡矩阵为 , 到 的过渡矩阵为 ,则 到 的过渡矩阵为 直角坐标变换的过渡矩阵,正交矩阵 设 和 是空间中的两个直角坐标系, 到 的过渡矩阵为 因为 是直角坐标系,C的各个列向量依次是 在 中的坐标,所以它们之间的内积为 又 是直角坐标系,所以 于是 实方矩阵 ,满足 ,则称 为正交矩阵。 命题 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵。 对于平面上两个直角坐标系,它们的过渡矩阵是正交矩阵。则它是二阶正交矩阵,设为 则 于是 于是二阶正交矩阵只有下面两种形式: 平面直角坐标变换公式 一个是旋转, 一个是旋转加反射. 现考虑在一个右手直角坐标系中,一个二次方程 做法是通过转轴和移轴,寻找一个新的右手直角坐标系,使得方程最简,从而看出其几何形状。 下面用转轴消去交叉项。 新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得 于是,要使得新坐标系的方程不出现交叉项,只需取 满足 例 化方程 为标准二次方程。 作业 P134 4, 5, P135 7, 10. 定义 设 , 令 称矩阵 为矩阵 与 矩阵的乘积,记为 。 方法如下: 矩阵的乘法 ? 记为 例如 不存在. 主对角元全为1而其他元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵,记为 或 ,即 定义 称为单位矩阵(或单位阵). 性质1 对任一m×n矩阵 ,均有 , 一. 仿射坐标系 ? 定义:空间中一点O与三个不共面向量 e1,e2,e3 一起构成空间的一个仿射标架,记[O, e1,e2,e3]. 称e1,e2,e3为它的坐标向量. O称为它的原点. 对于空间任意一点A, 把向量OA(称为A的定位向量)对e1,e2,e3 的分解系数构成的有序数组称为点A关于上述仿射标架的仿射坐标. ? e3 e2 e1 O P OP = ae1 + be2 + ce3 ? 仿射坐标系{O; e1, e2, e3}. 任意点P, 存在唯一的有序数组 (a, b, c)使得OP= ae1 + be2 + ce3. e3 e2 e1 O P 坐标原点 点P的定位向量 坐标向量或基 P的坐标 在不同的坐标系下,同一个点的坐标是不同的,从而图形的方程也是不同的。 问题1:对于给定的图形,怎样选坐标系?使得它的方程最简单。 问题2:在不同的坐标系下,同一图形的不同方程之间有什么关系? 设在空间中我们取定两个仿射坐标系,它们的标架分别为 和 O e1 e2 e3 O’ e1’ e2’ e3’ M 设

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