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例1 计算积分 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛 空间曲线积分的 向量点积法 空间曲线积分的“向量点积法”是斯托克斯公式的一种改进的方法。 在计算空间曲线积分时，通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分，再将曲面积分化为二重积分。 而“向量点积法”则是直接将曲线积分化为二重积分，减少了中间环节。 当 且 L 是Σ的正向边界曲线， 则有以下公式： Σ 取上（下）侧时，取正（负）号 空间曲线积分的向量点积法 证明 由斯托克斯公式 其中单位法向量 （教材98页） 再利用对面积的曲面积分的计算公式（教材217页） Σ 取上（下）侧时，取正（负）号 以上公式可以写成行列式的形式： 其中? 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 解: 记三角形域为? , 取上侧 个边界, 方向如图所示. 由前面的公式 May 2012 四川大学数学学院 徐小湛
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