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设是定义在D上的函数,若对D中的任意两数(),恒有,则称为定义在D上的C函数.
(Ⅰ)试判断函数是否为定义域上的C函数,并说明理由;
(Ⅱ)若函数是R上的奇函数,试证明不是R上的C函数;
(Ⅲ)设是定义在D上的函数,若对任何实数以及D中的任意两数,恒有,则称为定义在D上的C函数. 已知是R上的C函数,m是给定的正整数,设,且,记. 对于满足条件的任意函数,试求的最大值.
答案:
(Ⅰ) 是C函数,
证明如下:
对任意实数()及,
有
.
即.
∴是C函数.
(Ⅱ)假设是R上的C函数,取,.
则有.
是奇函数,
∴,.
∴. (#)
同理,取,可证.
与(#)式矛盾.
∴不是R上的C函数.
(Ⅲ)对任意,取,,.
是R上的C函数, ,且
∴.
那么.
可证是C函数,且使得都成立,此时.
综上所述,的最大值为.
来源:09年北京海淀月考一
题型:解答题,难度:较难
定义在R上的函数,对任意实数,都有和,且,记,则
答案:
2009
来源:09年广东月考一
题型:填空题,难度:较难
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