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请问：纸牌这两面的句子是对是错？ 引例：纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。” 悖论 数学与应用数学 孔婧竹 悖论 （一）概念 （二）类型 （三）经典数学悖论 概念 悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。 悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，进行正确的逻辑推理后，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。 　　最早的悖论被认为是古希腊的说谎者悖论. 悖论 （一）概念 （二）类型 （三）经典数学悖论 （二）类型 　　悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 逻辑悖论 　　最著名的逻辑悖论是伯特纳德·罗素提出的理发师悖论。 　　一个理发师的招牌上写着： 　 城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 　　谁给这位理发师刮脸呢？ 　　　　伯特纳德·罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。 概率悖论 　　概率悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中写道： 　“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这种比赛是对我有利。　　 一个比赛怎么会对双方都有利呢？　 错！要不然怎么能有双赢呢？ 　　很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件，它就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知比赛中的一个人系较便宜的领带，那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个的领带价值从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人领带价值的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个比赛是“对称的”，不会偏向任何一个比赛者。 几何悖论 　　几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描，线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。 　　“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·S·彭罗斯和他的儿子，数学家罗杰尔·彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布于众，人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。 　　在这个台阶里，永远找不到最高阶和最低阶，“不可能台阶”永远没有尽头。。。。。。 统计悖论 　　假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明，选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不愿选C的最多？ 　　不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引起一个惊人的逆论。 　三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C； 　另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C，A； 　最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A，B。 　　所以，有2/3宁愿选A而不愿选B；同样，有2/3宁愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A！ 　　 ab, bc,则ac 这个悖论可追溯到18世纪，选举悖论使人迷惑，是因为我们以为“好恶”关系总是可传递的，但实际上它是一个非传递关系的典型。 这条悖论有时称为阿洛悖论，肯尼思·阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了，一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的，他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。 时间悖论 　　有关时间的悖论，最著名的是“芝诺悖论”。 　　 二分法。物体在到达目的地之前 必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或 者，它根本起动不了。 　 中国古代也有类似的说法，如： “飞鸟之景，未尝动也” 　　这是中国名家惠施的命题，这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 问题的解决： 这就是极限理论的诞生。 十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 　　可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运