近世代数之交换律、单位元、零因子、整环.ppt

2、在一个环里，如果有一个消去律成立，那 么另一个消去律也成立. 上例提醒我们:非零环的特征就是任一个非 零因子的阶. The class is over. Goodbye! 本学期共计上课时间17周(每周一, 3学时), 国庆10.4放假1次, 期中考试1次11.15， 课外上习题课3次，正式课内课时15次. 正好三课时 * In our classes, all the mobile phones should be switched off ! 上课啦！ The class is begin! 第三章环 和域 第 三 章 环与域 　第 17 讲 §2 交换律、单位元、零因子、整环. ((Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain) ) ; 为什么会发生这种现象呢? 二、无零因子环 关于(2),同理可证. 利用左,右零因子的“相伴”的性质.可得 * 本讲教学目的和要求: 由环的定义知,环是在 某集合上定义了两种代数运算,而这二个运算又通 过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运 算对算法的要求是很不平衡的 .特别是环中的乘法 只要求满足半群—乘法封闭和结合律.这为环在乘法 方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满足其 它一些条件,则就变成了一些特殊的类型的环. 本讲主要介绍交换环、有单位元的环、没有零因子的 环、整环等一类特殊类型的环和环的特征,以扩大环论的知 识面.在学习方面要求掌握: (1)交换环仅是对乘法而言可交换的一种环.由此可得到 什么新结果. (2)有单位元的环(习惯上称为幺元)具有的一些重要性质. (3)零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性. (4)什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系 本讲的重点和难点: 零因子是一个新的概念,要真正了解并掌握它不是件 易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明 是难点. 例2 设环的加法群是循环群,那么环R必是交换环. 由群的知识可知,每个阶的群必是交换群.而一旦 环中元素个数,那么必是交换环. 若是环,令于是 ,可用的性质来 刻划是否有零因子. 另方面，若,构造n元齐次线性方程组： ,令 ； 定理3.2.3 设是一个无零因子环,那么加群中每个非零元素的阶彼此必相同.若阶为有限时必是素数. 同理.因此,即 .由的任意性知它们的阶都相同. 定义4 一个环中若有元素,使得都有,那么称这个元素叫做环的单位元.习惯上,记单位元为. 在幺环中,若可逆,那么的逆元必是唯一的,习惯上记为,显然. 例11 ①“ 幺环中必有可逆元”对吗? ②在中,可逆的充要条件是什么? ③若—零环，中有单位元吗？ ④若幺环,那对吗? ⑤左(右)零因子会是可逆元吗? 0会是可逆元吗? 譬如,在剩余类环中. ，但 . 定义2 设为环,如果中元,但,那么称是的一个左零因子,是的一个右零因子.环中元素若既是左零因子,又是右零因子,那么就称为R 的零因子. 对于环R,若是的左零因子,一般未必同时是的右零因子. 定理3.2.1 设是一个环,那么 (1)中没有左零因子当且仅当中满足左消去律. (2)中没有右零因子当且仅当中满足右消去律. 另一方面，设,如果,显然,因为,由左消去律可得. 事实上， （2）在中,它的全部零因子是哪些. （3）中有零因子吗? 答: (1) 是零因子,但不是. 设是幺环.那么 若可逆，则也可逆,且; 若和都是中元素,那么与都可逆可逆; . 定义6 设是环,如果满足下列条件,则称R为整环. (1)是交换环；(2)有单位元；(3)是无零因子环. 定义7 设为任意环，如果存在自然数，使得任意都有，那么称这样的最小的自然数为环的特征，记为. 证明 设，则 ；设 则 . 于是，有 证明 因R是交换环, 所以 设R是一个无零因子环,那么关于R的特征问题就有一种“新的认识”. 定理3.2.7 设R是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都是一致的. 本定理已在定理3.2.3中论证过. 若 ，则,那么有 . ?说明 ??1、??环 的可逆元也称为 的单位. ????注意单位元与单位的区别: 在一个环 中, 单位元如果有的话是唯一的, 即 . 但单位可以有许多. 单位元也是单位(即: 可逆元), 它的逆元是它自己.3、???一个元a最多只能有一个逆元，因为如果它有两个逆元b和b’,那么 bab’=b(ab’)=b1=b=(ba)b’=1b’=b’ 如 可逆, 则 的逆元唯一, 且 的逆元也可逆. ????可逆元 的唯一的逆元记作 , 且 .