近世代数2-12习题.pptVIP

近世代数 第二章 习题课 1. 2. 3. 假定G是一个阶是偶数的有限群 ，在G 中阶等于2的元的个数一定是奇数. 4. 一个一一变换群的单位元一定是恒等变换. 6. 找出3次对称群的所有子群. 6. 找出3次对称群的所有子群. 7. 找出模12的剩余类加群的所有子群. 8. 阶是素数的群一定是循环群. 9. 假定H是G的子群，N是G的不变子群，证 明，HN是G的子群. 10. 指数为2的子群一定是不变子群. 11. 设G是群，且|G|1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数. 12.给出下列6元置换： 13. 14. 15. 用三种颜色的珠子，串成有5个珠子的项链。问有多少种不同类型的项链？ 16. 证明：pm阶群（p是素数）一定有p阶子群. 17. 证明：假定群G的不变子群N的阶是2，则群的中心包含N. 18. 假定群 设G是群. 证明: 如果对任意的 则G是交换群. 证明： 得证G是交换群. 由消去律，有 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数. 证明: 若 若 必有 且 否则 若 若 与a，b取法矛盾. 故有限群中阶数大于2的元都是成对出现的， 个数必是偶数. 证明： 有限群中阶大于2的元的个数是偶数， 阶等于1的元只有1个， 而群G的阶是偶数， 于是阶等于2的元的个数一定是奇数. 证明： 设G 是某个集合A的一一变换群， 是其单位元， 则 而 是一一变换 得证一一变换群的单位元是恒等变换. 解： 子群的阶整除群的阶 1阶子群只含1阶元，即单位元 2阶子群只含1个1阶元和1个2阶元 3阶子群只含1个1阶元和2个3阶元 6阶子群是其本身 解： 所有子群为： 解： 所有子群为： 证明： 设 是素数, 是素数, 证明： 证明： 得证指数为2的子群一定是不变子群. 证明: 设这个相同的阶不是无限，是合数n. 与题中条件矛盾. 得证这个相同的阶不是无限，就是素数. 求（1）循环置换分解， （2）逆元，（3）阶 （4） 设 为整数加群, （1）证明 ；（2）求 （1）证明 ；（2）求 1 2 3 4 5 (1) 15 35 (12345) 51 3 (13524) 51 (14253) 51 (15432) 51 (25) (34) 11 22 33 (13) (45) 11 22 (15) (24) 11 22 (14) (23) 11 22 (12) (35) 11 22 证明：设群G的阶是pm（p是素数） 若 是p阶子群. 若 是p阶子群. 证明： * *