近世代数课件(全)--2-5变换群.ppt

数学与计算科学学院 近世代数 第二章 群论 §5 变换群 研究一种代数体系就是要解决这种代数体系 的下面三个问题：存在问题；数量问题以及 结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同 构的代数体系的数量，因为同构的代数体系 抽象地看可以认为是相同的代数体系。 一、集合的变换和变换乘法 二、变换群的概念 定义1 定理1 定义2 定理2 推论1： 例 定理3(凯莱定理) 推论2 本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变 换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研 究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理 论上知道凯莱定理的重要性。 1 变换：设 是一个非空集合，若 是 就称 是 的一个变换. 到 上的映射 2 变换集合：由 的全体变换做成的集合 ，由 的全体一一变换做成 . 记为 的集合记为 4 变换乘法是 的代数运算，也是 的代数运算. 5 恒等变换 ： ， 3 变换乘法： ，规定 ，称 为 的乘法. 例1 设 ． 的全部变换如下 问：（1） 关于变换乘法是否做成群？ 关于变换乘法是否做成群？ （2） 解：（1）非空、代数运算、结合律都满足， 事实上， 就没有逆元.因为如果 有逆元 .那么必有 且 .但是 而 导致矛盾，故 没有逆元. 不能成为群. 有单位元 . 那么“逆元”问题能解决吗？ 因此 （2）非空、代数运算、结合律都满足， ， 的逆元是 的逆元是自身. 因此 例2 设 ，并取定 ，则易知 是 的一个非一一变换， ，从而 关于变换乘法做成群. 有单位元 成为群. . 设 的若干一一变换关于变换的乘法做成 的一个一一变换群； 的若干非一一变换关于变换的乘法做 的一个非一一变换群. 是一个非空集合，则 的若干变换关于变换的乘法做成的群， 的一个变换群； 由 称为 由 的群，称为 由 成的群，称为 设 为非空集合， 构成 的一个变换群. 关于变换的乘法 证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元 为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的 互逆的一一映射. 称集合 上的一一变换群 为 上的对称群； 时，其上的对称群用 表示，称为n 次对称群. 当 显然：（1） 上任何一一变换群都是 上的对称群的一个子群，即 上的对称群 的最大的一一变换群； 是 （2）n次对称群 是一个阶为 的有限群. 设 是非空集合 的一个变换群.则 证：必要性显然；下证充分性：设有 的单射变换 ，于是 ，由 是单射变换， ，因此 是 的恒等变换； ，若 ，则 ，所以 是单射变换； ，所以 是满射变换. 是 的一个一一变换群 中含有 的单（满）射变换. ，因为 是群， 故有单位元 得 是非空集合 的一个变换群，则 或者是一一变换群（单位元是恒等变换）， ，则 不能成为群. 或者是非一一变换群，即任何一个变换群都 不可能既含有一一变换又含有非一一变换. 注意：如果 例3. 令 ， ，则 做成 的一个 ，规定 ，则 做成 的一个 上的对称群. 非一一变换群. 例4. 令 一一变换群，但不是 （单位元 ） （单位元 ） 任何群都能同一个一一变换群同构. 证：设 是任意一个群, ，规定 的一个变换 ,易知是一个 一个一一变换.令 ，则 ， ， ，所以 是同构映射. 所以 . * *