近世代数课件(全)--4-2主理想整环、欧式环.pptVIP

数学与计算科学学院 近世代数 第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环 一、主理想整环 二、欧式环 例2 例3 定理2 辗转相除法 例4 例5 定义1： 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列 如果整环R的每一个理想都是一个 称其为主理想环. 主理想， 引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列. 定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环. 一个不可约元P生成一个最大理想. 定义2 设 为整环, 为 到 的映射. 如果 满足:任给 ,存在 ,使得 这里, ,则称 关于 做成一个欧氏环. 例1 是欧氏环. 证明： 且 是欧氏环. 设 为域,环 是欧氏环. 设 ,令 证明: 如果 ,则存在 ,使得 .令 （2）如果 ,取 ,使得 为 中次数最小的多项式,则 ,使得 存在 下证: (反证) 如果 ,令 ,令 则 .而 与 的选取矛盾. Z[i] 是欧氏环. 证明 令 ,那么,将 限制到 上,称为 到 的映射. ,有 如果 ,令 对任意的 ,取 ,使得 ，则 ,于是 ，令 ,则 ,且 ,而 所以 是欧氏环. 欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环. 证明 设 关于 做成一个欧氏环, 为 的任一理想. 如果 ,则 如果 ,令 则 非空,且 . 设 : ,使得 为 中的最小数, 下证 任给 ,因为 ,所以存在 ,使得 于是, 如果 ,则 ,与 矛盾.所以 ,于是 由 的任意性可知 又 ,所以 ,从而 的选取 则 这就证明了, 的任一理想都是主理想, 为主理想整环. 设 关于 做成一个欧氏环 ,则有 因为 故最后必有某个 )为零.从而有 (不妨设为 而且 因此,在欧氏环中,最高公因子可通过 辗转相除法求得,且可通过回代法求得 相应的表示式. 设 ,求 ,使得 解 应用辗转相除法得, * *