近世代数之除环、域.pptVIP

* 第 三 章 环与域 　第 18 讲 §3 除环、域 （Division ring and field） 上命题的反面不成立，例如整数环是无零 因子环，但它不是除环. * 本讲的教学目的和要求：继整环之后，除环是另一个需 要我们密切关注的环类。与整环相比，除环少了“交换性” 这个“好性质”，但也同时增添了“为乘群”这个更好的 性质。仔细口味起来，整环与除环相比，有相同性，当然 也有不同处。相同处为：都有单位元，都是无零因子环； 不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而 后者不一定可换；前者不具备“为乘群”，但后者具备。 我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑 合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。 以上就是本讲内容的背景。 学习本讲要求掌握： 整环与除环的区别和联系。 整环的几种判定。 四元数除环的意义。 域的运算规则和域的判定法则。 本讲的教学难点和重点： 本讲的重点有二个： 除环的几个判定法则。 域的运算法则的证明。 由于本讲中只涉及到两个主要概念， 所需的知识面不广，故不存在什么难点。 定义1 设是一个环，如果满足下列条件，则称是一个除环 (也可以称为体) . ① 必有非零元(至少含有两个元)； ② ； ③ 中每个元都有逆元. 性质2 对除环而言,一切非零元构成的集合是一个乘法群. 与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了“为乘群”这个更好的性质.仔细品味起来，整环与除环相比，有相同性，当然也有不同处.相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“为乘群”，但后者具备.我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域. 前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)。如有理数域,实数 域,复数域等.当为素数时,也是域.我们很容易发现:要找 一个非域的除环是不容易的.下面我们来“构造”一个四元数除环. 设是所有的复数对（事 实上，），在中定义加法和乘法： 其中 和表示和的共轭复数. 可以证明: 是一个环(略). 又易知是的单位元, 即是一个幺环. 任取的一个非零元 .由于 不全 为零，从而， 于是有 ，使 （）==. 由 的任意性，可知中每个非零元都可逆，因此是 一个除环.另外,显然 , 而 , 在域中， 只要那么有意义且有下列性质： ① 若则 ② ③ . ④ . 证明 ① ② = ③ . ④ =. 三、子整环、子除环和子域 定义3 设R是整环，.若S满足 ，同时 且是可交换的，则称是的子整环. 定义4 设R是除环，.若S满足有 且 ，则称是的子除环. 定义5 设R是域，.若S既是的子整环也是的 子除环，则称是的子域. 设为复数域上的二阶矩阵环,显然不 是整环,不是除环,更不是域。但我们发现: 是的子整环. 是的子域. 是的子除环. 从例1中看到,环本身不是整环,但也许有子整环;环本 身不是除环(域)但可能有子除环(子域) 例5 为模6的剩余类环,而不仅是 的子环还是的一个子域(其中,且 ). 从例5中看到,中的单位元,而中的单位元 .这表明子环中的单位元未必是扩环 (母环)的单位元. 与群的子群相比,子环还具有如下一些特殊性质. 设是的子环,那么 ① 是幺环, 未必是幺环. ② 不是幺环, 可能是幺环. ③ 是交换环, 必是交换环. ④ 不能交换, 可能能交换. ⑤ 与都是幺环,但它们的单位元未必一致. ⑥ 是整环(除环、域), 未必是整环(除环、域). 从子环的上述性质可知,在环与子环之间,单位 元,交换性,环的类型都可能发生转变,而且从例5中 知,零因子也会发生转变:在中是零因子,但 在S中是可逆元. 这说明 即不是域.所以是一个非域的除环。 我们将上述除环称为哈米尔顿（Hamiltom） 不妨称它们为“数”，显然. 可以验证: 都有 也就是说,中每一个元素可以由上述四个“数”表达，并且可验 证,这种表达是唯一的.既然是由这四个“数”控制着，所以称为四 元数除环也就自然了. 下面说明一下域的计算规则. 如果 是一个除环，那么 就是一个乘群. 由群的定义知，，下列两个方程在中有唯一解： , 显然，是第一个方程的解，而是第二个方程的解. 我们称为“左除”,称为“右除”，因为除环未 必能交换即不一定有 但在域里讨论上述问题，就没有左除 与右除之分了 .我们有 =并称为“除以所得之商”（或“除的商”） 定理3.3.3 设是一个有限