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* 第 三 章 环与域 第 18 讲 §3 除环、域 (Division ring and field) 上命题的反面不成立,例如整数环是无零 因子环,但它不是除环. * 本讲的教学目的和要求:继整环之后,除环是另一个需
要我们密切关注的环类。与整环相比,除环少了“交换性”
这个“好性质”,但也同时增添了“为乘群”这个更好的
性质。仔细口味起来,整环与除环相比,有相同性,当然
也有不同处。相同处为:都有单位元,都是无零因子环;
不相同处为:前者可以是零环,而后者不行;前者可换而
后者不一定可换;前者不具备“为乘群”,但后者具备。
我们把整环的优点(可换性)与除环的优点(可逆性)凑
合在一起,则成了另一个更“好”的代数体系---域。
以上就是本讲内容的背景。
学习本讲要求掌握:
整环与除环的区别和联系。
整环的几种判定。
四元数除环的意义。
域的运算规则和域的判定法则。
本讲的教学难点和重点:
本讲的重点有二个:
除环的几个判定法则。
域的运算法则的证明。
由于本讲中只涉及到两个主要概念,
所需的知识面不广,故不存在什么难点。
定义1 设是一个环,如果满足下列条件,则称是一个除环 (也可以称为体) .
① 必有非零元(至少含有两个元);
② ;
③ 中每个元都有逆元.
性质2 对除环而言,一切非零元构成的集合是一个乘法群.
与整环相比,除环少了“交换性”这个“好性质”,但也同时增添了“为乘群”这个更好的性质.仔细品味起来,整环与除环相比,有相同性,当然也有不同处.相同处为:都有单位元,都是无零因子环;不同处为:前者可以是零环,而后者不行;前者可换而后者不一定可换;前者不具备“为乘群”,但后者具备.我们把整环的优点(可换性)与除环的优点(可逆性)凑合在一起,则成了另一个更“好”的代数体系---域.
前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域)。如有理数域,实数
域,复数域等.当为素数时,也是域.我们很容易发现:要找
一个非域的除环是不容易的.下面我们来“构造”一个四元数除环.
设是所有的复数对(事
实上,),在中定义加法和乘法:
其中 和表示和的共轭复数.
可以证明: 是一个环(略).
又易知是的单位元, 即是一个幺环.
任取的一个非零元 .由于 不全
为零,从而,
于是有 ,使
()==.
由 的任意性,可知中每个非零元都可逆,因此是
一个除环.另外,显然 , 而
,
在域中, 只要那么有意义且有下列性质:
① 若则
②
③ .
④ .
证明 ①
②
=
③ .
④
=.
三、子整环、子除环和子域
定义3 设R是整环,.若S满足
,同时
且是可交换的,则称是的子整环.
定义4 设R是除环,.若S满足有
且
,则称是的子除环.
定义5 设R是域,.若S既是的子整环也是的
子除环,则称是的子域.
设为复数域上的二阶矩阵环,显然不
是整环,不是除环,更不是域。但我们发现:
是的子整环.
是的子域.
是的子除环.
从例1中看到,环本身不是整环,但也许有子整环;环本
身不是除环(域)但可能有子除环(子域)
例5 为模6的剩余类环,而不仅是
的子环还是的一个子域(其中,且 ).
从例5中看到,中的单位元,而中的单位元
.这表明子环中的单位元未必是扩环 (母环)的单位元.
与群的子群相比,子环还具有如下一些特殊性质.
设是的子环,那么
① 是幺环, 未必是幺环.
② 不是幺环, 可能是幺环.
③ 是交换环, 必是交换环.
④ 不能交换, 可能能交换.
⑤ 与都是幺环,但它们的单位元未必一致.
⑥ 是整环(除环、域), 未必是整环(除环、域).
从子环的上述性质可知,在环与子环之间,单位
元,交换性,环的类型都可能发生转变,而且从例5中
知,零因子也会发生转变:在中是零因子,但
在S中是可逆元.
这说明
即不是域.所以是一个非域的除环。
我们将上述除环称为哈米尔顿(Hamiltom)
不妨称它们为“数”,显然.
可以验证: 都有
也就是说,中每一个元素可以由上述四个“数”表达,并且可验
证,这种表达是唯一的.既然是由这四个“数”控制着,所以称为四
元数除环也就自然了.
下面说明一下域的计算规则.
如果 是一个除环,那么 就是一个乘群.
由群的定义知,,下列两个方程在中有唯一解:
,
显然,是第一个方程的解,而是第二个方程的解.
我们称为“左除”,称为“右除”,因为除环未
必能交换即不一定有 但在域里讨论上述问题,就没有左除
与右除之分了 .我们有
=并称为“除以所得之商”(或“除的商”)
定理3.3.3 设是一个有限
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