近世代数课件--1.3子群.ppt

数学与计算科学学院 第一章 群 论 目 录 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 §3 子 群 *Company Logo * LOGO 代数运算 §1 子 群 §3 群的概念 §2 循环群 §4 正规子群与商群 §5 群的同构与同态 §6 有限群 §7 *Company Logo 设是一个非空集合,是上的一个代数运算,是的一个非空子集. 我们称关于代数运算封闭,是指:对于任意的,总有. 假设关于代数运算封闭.于是,将限制在上, 我们便可得到上一个代数运算.也就是说,我们可以定义上的 命题3.2 设是一个群,是的一个子群.那么, (1)的单位元就是的单位元; (2)对于任意的,在群中的逆元就是在群中的逆元. 定理3.3 设是一个群,是的一个非空子集.那么,为的子群的充分必要条件是: (1),; (2),. 证明 先证明必要性.假设是的子群.首先,根据子群的定义,满足条件(1). 其次, 对于任意的,根据子群的定义,在中有逆元.根据命题3.2,.因此.所以满足条件(2). 再证明充分性.假设满足条件(1)和(2).由于满足条件(1),为了证明为的子群,现在只需阐明关于上的代数运算构成一个群. 例3 设是数域上的向量空间,是的子空间,则是的子群. 例1 是的子群,是的子群,是的子群;是的子群,是的子群. 例2 设是一个数域,.于是,是的子群.(参看§2的例2).若令表示数域上全体级可逆的上三角形矩阵构成的集合,表示数域上全体级可逆的对角形矩阵构成的集合,则是的子群,是的子群. 考察的子集 . 易见,是的子群. 若存在的有限子集,使得,则称为群的有限生成的子群.通常简记作.特别地,当时,称群为有限生成的群. 命题3.5 设是一个群,是的一个子集.令表示的包含的所有子群.则是的包含的最小子群,也就是说,是的包含的子群,并且,对于的包含的任何子群都有.□ (3)设是群的一个子群.若存在,使得,则称为群的循环子群,并称为子群的一个生成元.特别地,若,则称为循环群. 显而易见,;对于的任何子群,总有. 定义3.7 设是一个群,.若对于任意的总有,则称为的一个中心元. 命题3.8 设是一个群,是的全体中心元构成的集合.则是的交换子群(称为群的中心.) 证明 显然,因此非空.现在考察任意的:对于任意的,我们有 ， 定义3.9 设是一个群,.若存在正整数使得:,并且,对于任何小于的正整数(如存在)都有,则称的阶为,记作;这时称为有限阶元素.若对于任何正整数都有,则称的阶为,记作;这时称为无限阶元素. 再假设,其中为正整数.易见,是个互不相同的元素.对于任意整数,存在整数和,使得 ,. 于是, . 证明 令.则存在整数和,使得 ,. 若,则且,这与矛盾.因此,从而,,即.□ 命题3.12 设是一个群,.若存在某个正整数使得,则. 设是一个群,.显然, 当且仅当; ; 若,则对于任意两个不同的整数和总有. 命题3.4 设是一个群,是的一族子群,则也是的子群.□ 设是一个群.若是的一个子集,则存在的子群,使得,例如,就是这样的子群.此外,容易验证,若与是群的两个子群,并且集合与集合互不包含,则不是群的子群. 注意 设是一个群,.则 . 事实上,一方面,显然,,并且,由幂的定义和性质可知,是的子群.因此.另一方面,显然,.所以.由此可见,循环群是交换群. 代数运算如下: ,. 我们约定,将在上的限制也记作.显而易见,当上的代数运算适合结合律时,上的代数运算也适合结合律. 定义3.1设是一个群,集合是集合的一个非空子集.我们称是的一个子群,是指满足如下条件: Ⅰ.,,即关于群的乘法封闭; Ⅱ.关于构成一个群. 设是一个群. 显然,和都是的子群.和都称为的平凡子群. 若是的子群并且集合是集合的真子集,则称为的真子群. 注意 若是一个