近世代数课件--2.2多项式环.pptVIP

数学与计算科学学院 第二章 环 论 目 录 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 §2 多项式环 *Company Logo * LOGO 环的概念 §1 多项式环 §2 理想与商环 §3 环的同态 §4 交换环 §5 整环的因子分解 §6 唯一分解环上的多项式环 §7 *Company Logo 到此为止,我们已经介绍了有单位元1的环上的一元多项式环的概念.下面介绍表示环上的一元多项式的常用方法. 我们将上所有的一元多项式构成的集合记作.其中仅仅是一个记号,不是中的元素,通常称为上的不定元.这时,我们常常用记号或等表示环上的任意一个一元多项式.当是环上的一元多项式时,我们约定: 若存在某个非负整数,使得:对于任何不等于的非负整数,总有,则将记作.特别地,当时,又可以简记作 ;又可以简记作. (2)对于任何非负整数,记号表示零多项式.记号和都表示环的单位元. (3)若是上的一元多项式,则对于任意的整数,我们有,其中当时. (4)若和都是上的一元多项式,则 ,; . 定义2.1 设是一个有单位元的环. (1)若是由中的元素构成的一个无穷序列,并且存在非负整数,使得:对于任何大于的整数都有,则称为上的一个一元多项式,不致混淆时,简称为多项式;其中所有的都称为该多项式的系数. (2)所有系数都为的多项式称为零多项式;其它多项式称为非零多项式. (3)若是环上的一元多项式,其中(),并且对于任何大于的整数都有,则称为多项式的次数,记作. 命题2.2 设是一个有单位元的环,令表示上所有一元多项式构成的集合.那么, (1)关于多项式的加法和乘法构成一个有单位元环(称为上的一元多项式环),其零元为零多项式,其单位元为,其中未具体写出的系数都是. (2)若是交换环,则也是交换环. 证明 根据定义直接验证.□ 注意 当是有单位元的数环时,对于上的任意非零的一元多项式和,总有 . 但是,当是一般的有单位元的环时,对于上的任意非零的一元多项式和,我们只能断言:为零多项式,或者,是非零多项式,并且 . 同学们不妨以为例来说明这一事实. (5)若和都是上的一元多项式,则 . (4)定义上的一元多项式的加法和乘法如下: , , 其中,和为上的任意一元多项式;对于每一个非负整数, ,. 以这一约定为基础,根据定义2.1和命题2.2,自然 可以得到如下结论: (1)上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式: (或), 其中是某个非负整数,所有的.特别地,当是次多项式时,.反过来,每一个这种形式的表达式都表示上的唯一的一个一元多项式. 定义2.3 设是一个有单位元的环.对于一切的正整数,我们递推地定义上的元多项式环如下: 当时,(其中为上的不定元)是上的一元多项式环. 假设已经定义了上的元多项式环,为正整数.我们定义上的元多项式环就是上的一元多项式环,即 , 其中为上的不定元. 当然,我们也可以用其它记号作为上的不定元,例如,,等等.例如,我们也可以将上的所有一元多项式构成的集合记作;这时上的每一个一元多项式都可以表示成如下形式: (或).