近世代数课件--2.3理想与商环.ppt

数学与计算科学学院 第二章 环 论 目 录 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 §3 理想与商环 *Company Logo * LOGO 环的概念 §1 理想与商环 §3 多项式环 §2 环的同态 §4 交换环 §5 整环的因子分解 §6 唯一分解环上的多项式环 §7 *Company Logo 设是一个环,是的一个非空子集.如果关于环的加法和乘法都封闭,那么,将和限制在上,便得到上的加法和乘法.显然,作为上加法和乘法,对仍适合分配律. 定义3.1设是一个环,是的一个非空子集.我们称是环的一个子环,是指满足如下条件: Ⅰ.是环的加群的子群; Ⅱ.,,即关于环的乘法封闭. 注意 (1)若是一个环,是的一个非空子集,则 是的子环 ,,并且 关于和构成一个环 ,. (2)环的任意子环的零元就是环的零元;子环中任意元素在中的负元就是在中的负元. (3)任何环都有子环,例如,和.和都称为环的平凡子环. 若是环的子环并且是的真子集,则称为环的真子环. 下面的一些例子告诉我们,当是一个环的子环时,有单位元,不意味着有单位元;即使子环有单位元,子环的单位元未必就是环的单位元;环没有单位元不意味着其子环一定没有单位元. 例1 整数环有单位元.令表示偶数环.则是环的子环,它没有单位元.的平凡子环以为自己的单位元,是环的子环. 命题3.4 设是一个环. (1)若是环的一族理想,则也是环的理想. (2)若和都是环的理想,则 也是环的理想,而且是环的包含和的最小理想,也就是说,对于的任何包含和的理想,总有. (2)设和都是的理想. 首先,和都是环的加群的子群.由于交换群的子群都是正规子群,因此根据第一章§5习题第6题可知,环的加群的子群. 其次,考察任意的和任意的:不妨设,其中,.于是,,,从而, , . 因此是环的理想. 最后,显而易见, ,; 对于环的任何包含和的理想,由和都是加群的子集可知.所以是环的包含和的最小理想.□ (2)设是环的一个理想.若是的非空子集,使得,则称为理想的一个生成集.若存在的有限子集,使得,则称为的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将简记作. (3)设是环的一个理想.若存在,使得,则称为环的主理想,并称为理想的一个生成元. 注意 (1)与群的情形类似,一个环的任意两个互不包含的子环(理想)的并不再是环的子环(相应地,理想). (2)由命题3.4可知,对于一个环的任意有限个理想,譬如,,我们有 ; 对于一个环的任意有限个元素,譬如,,我们有 . 例3 考察偶数环.由于它是交换环.因此,对于任意的非零偶数,我们有 . 显然,是偶数环的理想,但.因此.事实上,的由生成的主理想为 现在考察.对于任意的,若且,则且,从而, , 因此.这样一来,我们可以定义上的乘法如下: ,. 显而易见,上的乘法对上的加法适合分配律.所以是一个环. 定义3.6 我们将如上定义的环称为环关于理想的商环. 注意 我们已经约定,将环的零元记作.为了避免记号上的混淆,我们将环的零元记作.根据环的零元的定义,就是加群的零元,即.此外,如果环有单位元,那么就是环的单位元.我们将环的单位元记作.于是. 例4 设是一个正整数,是生成的加群的子群,是生成的环的理想.例2中已经指出,加群与加群是同一个群.其次,在第一章§5中已经指出,作为加群,.因此,作为加群,我们有.此外,对于任意的,我们有 ,, 从而, . 这就是说,商环的乘法与模剩余类的乘法是一致的.所以商环就是模剩余类环. 命题3.7 设是一个环,是环的一个理想. (1)若是环的一个理想,并且,则是的理想; (2)若是环的一个理想,则存在的一个理想,使得,并且.□ 作业 p40,第1-4题;第5,6题. 定义3.2 设是一个环,是的一个非空子集. (1)我们称是环的一个左(右)理想,是指满足条件: Ⅰ.是环的加群的子群; Ⅱ.(相应地,),,. (2)我们称是环的一个(双侧)理想,是指既是环的左理想,又是环的右理想. (3)凡是由的真子集构成的的左(右,双侧)理想都称为环的真左(右,双侧)理想. 证明 (1)设是的一族理想.于是,是加群的子群.对于任意的和任意的,我们有 ,, 从而, . 所以是环的理想. 注意 (1)环的左理想和右理想都是环的子环. (2)任何环都有理想,例如,和,它们分别称为环的零理想和单