近世代数课件--1.6群的同构与同态1.pptVIP

数学与计算科学学院 第一章 群 论 目 录 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 §6 群的同构与同态 *Company Logo * LOGO 代数运算 §1 群的同构与同态 §6 群的概念 §2 子 群 §3 循环群 §4 正规子群与商群 §5 有限群 §7 *Company Logo 定义6.1 设和是两个群. (1)若是到的一个双射,并且保持代数运算,即 ,, 则称为群到群的一个同构;不致混淆时,简称为群到群的一个同构或为同构. (2)若存在群到群的同构,则称群与群同构,记作;不致混淆时,简记作. (3)群到群的同构称为群的自同构,简称为群的自同构. 由定义可知,群的同构具有如下性质: Ⅰ.任何群与自身同构; Ⅱ.若群与群同构,则群与群同构; Ⅲ.若群与群同构,群与群同构,则群与群同构. 下面我们来阐明这些性质成立. 首先,对于任何群,单位变换就是到自身的一个同构.因此.所以性质Ⅰ成立. 其次,假设和是两个群,并且.不妨设是群到群的同构.于是,的逆映射是到的双射.对于任意的,我们有 , , 从而， . 因此是群到群的同构,从而,.所以性质Ⅱ成立. 最后,假设和都是群,并且,.不妨设是群到群的同构,是群到群的同构.容易验证,是群到群的同构(从略).因此.所以性质Ⅲ成立. 例2 设是一个群.任意取定,定义到自身的映射如下: ,. 容易验证,是群的一个自同构.事实上,对于任意的,根据消去律,我们有 . 因此是单射.对于任意的,我们有 , 因此是满射,从而,是双射.又因为对于任意的,我们有 , . 所以是群的自同构. 称为群的一个内自同构. 例3 设是群,是的子群,.考察集合.容易验证,是的子群. 显而易见,就是在群的内自同构之下的象,即. 设是群,是的子群.由正规子群的定义容易明白,是的正规子群当且仅当 ,. 这样一来，我们可以用内自同构这一术语来表述正规子群:群的正规子群就是在群的任何内自同构之下都不变的子群.正因为如此,正规子群又称为不变子群. 定理6.2(Cayley定理) 任何一个群都与某个变换群同构. 证明 设是群.对于每一个,定义的变换如下: ,. 显而易见,是的一一变换. 令.下面我们来阐明是上的一个变换群. 事实上,显然,我们有.此外,对于任意的,我们有 , , ,, 从而,,.所以是上的一个变换群. 现在考察由下式定义的到的映射: ,. 显而易见,是满射.对于任意的,我们有 . 因此是单射,从而,是双射.此外,我们有 ,. 所以是到的同构,从而,.□ 推论6.3 任何一个有限群都与某个置换群同构. 定义6.4 设和是两个群. (1)若是到的映射,并且保持代数运算,即 ,, 则称为群到群的一个同态;不致混淆时,简称为群到群的一个同态.特别地,当是单射时,称为单同态;当是满射时,称为满同态. (2)群到群的同态称为群的自同态,简称为群的自同态. 显然,是群到群的同构,当且仅当既是群到群的单同态,又是群到群的满同态. 例4 设和是两个群,是的单位元.令,.则是群到群的同态. 例5 设是一个群,是的正规子群.令 ,. 显然是群到商群的一个满同态.这个满同态称为群到商群的自然同态. 命题6.5 设是群到群的一个同态,和分别是和的单位元.那么, (1); (2),. 证明 (1)由可知. (2)对于任意的,我们有 , 因此.□ 设是群到群的一个同态,和分别是和的子群.令 , , ,. 通常,称为在之下的像;称为在之下的原像.这里,我们将和分别称为的核和象.显而易见, ; 是单同态; 是满同态. 命题6.6 设是群到群的一个同态.那么, (1)是的正规子群; (2)是的子群. 证明 设和分别为群和的单位元. (1)由于,因此.对于任意的,我们有 ,