近世代数课件--4.1.素元、唯一分解环 (2).pptVIP

§1. 素元、唯一分解 1.1整除及其性质 要在一个整环里讨论因子分解，我们首先需要把整数环的整除以及素数两个概念推广到一般整环里去。 1.2 单位与相伴元  1.4素元 1.5 唯一分解 * 1.1 整除及其性质 1.2 单位与相伴元 1.3 真因子 1.4 素元 1.5 唯一分解 定义1 我们说，整环 的一个元 可以被 的元b整除，假如在 里找得出元c来，使得 假如 能被b整除，我们说b是 的因子，并且用符号 来表示。b不能整除 ，我们用符号 来表示。 整除的定义,和整数及多项式的整除定义完全一样. 因此,一些最基本的性质可以平移过来. 例1 表达“ ”正确吗？？ (2) , (3) , (1) (4) 任一个元素整除0, 特别地, 0整除0 (5) 被0整除的只有0. (传递性) 定义2 整环 的一个元 叫做 的一个单位，假如 是一个有逆元的元。 注意: 两个表达“单位”与“单位元”的区别. 一个整环至少有两个单位，就是1和-1，在一般情形之下，在一个整环里常有两个以上的单位存在（参看本书习题2）。 定理 1 两个单位 和 的乘积 也是一个单位。单位 的逆元 也是一个单位。 整除的性质: (6) 任一个元 可以被单位整除 . (7) 任一个元 可以被单位整除 事实上, 这就是说，一个任意元 可以被每一个单位和 的每一个相伴元 整除。 定义3 元b叫做元 的相伴元，假如b是 个一个单位 的乘积： 注1. 相伴关系是等价关系. 注2. 相伴元有另外的描述: 和 是一对相伴元 和 相互整除. (留作练习) 例2．发现一些整环的单位及一个元a的相伴元。 例3. 在整环中, (1) (2) 是相伴元 1.3 真因子 元 永远存在的因子 和 ,.同其它因子区别一下。 定义4 单位以及元 的相伴元叫做 的平凡因子。 其余的 的因子，假如还有的话，叫做 的真因子。 定理 3 整环中一个不等于零的元 有真因子的充分而且必要条件是： b 和c都不是单位。 证明 (1) 必要性. 若 有真因子 ，那么 这里的b由真因子的定义不是单位。c也不是单位，不然的话 b是 的相伴元，与b是 的真因子的假定不合。 (2)充分性. 设 b 和c都不是单位。这时b不会是 的相伴元，不然的话 c 是单位，与假定不合。这样，b既不是单位，也不是 的相伴元，b和 的真因子。 证完。 定理 3’ 整环中一个不等于零的元 有真因子的充分而且必要条件是： b 和c都不是 的相伴元。 由定理的证明, 容易得到: 推理 假定 ，并且 有真因子 。 那么c也是 的真因子。 证明 c不是单位, 否则, b是a 的相伴元. c也不会是 a 的相伴元, 否则, b是单位。 证完。 我们知道，一个素数 只有因子 和 ，除了这四个数以外素数 没有其它因子。依照上面的规定， 都是整数环的单位， 都是 的相伴元，所以我们可以说，素数 的一个性质是，它只有平凡因子。素数 还有另外一个性质，就是 或 。依照素数的这些性质，定义素元 定义 整环 的一个元 叫做一个素元，假如 既不是零元，也不是单位，并且 只有平凡因子(或曰: 没有真因子)。 按照这个定义以下事实成立： 定理 2 单位 同素元 的乘积 也是一个素元。 证明 由于 ，而整环没有零因子，所以 。 也不会是单位，不然的话 是单位，与假定不合。 假定 有真因子b, 那么: b和c都不是单位, 注意: b和 不是单位， 有真因子, 矛盾。证完。 已经有了素元的定义，让我们现在看一看，在什么情形之下可以说，一个元 可以唯一地