近世代数课件--3.5子环、环的同态1.pptVIP

数学与计算科学学院 例4：设 ， ， 。 作业布置： P101 EX 3 , EX 4 定理4：(挖补定理）设 是环 的一个子环，且 与环 同构，即 。又若 ，即 同 在 里的余集 无公共元素，则存在环 ，使得 ， 。 最后我们再次回顾下“挖补定理”。 R R S ～ * * * * * * 近 世 代 数(Abstract Algebra) 研究方法： 近世代数 代数系统 （带有运算的集合） 群 环 域 1、 研究其子系统、商系统 （从内部入手） （从外部入手） 2、 研究其同态和同构 子系统：子群、子环、子域 商系统：商群、商环、商域 §3.5：子环、环的同态 教学目的： §3.5：子环、环的同态 （1）掌握子环（子除环，子整环，子域） 的定义及其等价条件； （2）掌握环的同态及其若干性质； （3）理解并能使用“挖补定理”; （4）掌握类比的数学思想. 一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）： 下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群， 即设想加群是基础，而乘法是环的“灵魂”。 甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。 ——法国数学家拉普拉斯 类比是通过两类不同对象 A, B间的某些属性的相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。 在群论中 在环论中 定义1：设 ，称G为群，若 G对其上的一种代数运算满足： （I）闭合律；（II）结合律； （III）存在单位元； （IV） G中任一元素存在逆元。 定义3：设 为群，称G的子集H为G的子群，若对于G的乘法来说H也作成一个群。 记作： 。 定义2：设 ，且R带有加法和乘法两种运算，称R为环，若R满足 (i) 为加群；(ii) 为半群；(iii) 分配律成立。 定义4：设 ， R为环（除环，整环，域）, 称R的子集S为的R子环（子除环，子整环，子域），若S对于R的代数运算来说也作成一个环（除环，整环，域） 。记作： （S是R的子环时）。 例1：一个环 R 至少包含两个子环R和 。 例2：设R=Z,则 是R的子环。 二、子环的存在性及其例子： （平凡子环） 例3：设R = M n (F) (域F上的全矩阵环），则 是R的子环。 （ 因为 ， 的元素可交换） （子除环、子域） 可以验证， 例5：设 。 则容易验证： 例6：设 。现定义 的运算： （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。 （2）容易验证 令 。 定义：设 和 是两个环，则称 和 同态 （同构），若满足 三、环的同态及其若干性质 （2） 保持运算（保持加法和乘法运算） 此时记 和 的同态（同构）为： 。 （1） 存在满射（双射）