近世代数课件--4.4欧氏环.pptVIP

§4. 欧氏环 3.1 定义及例 3.2 主要结论 3.3 两个重要唯一分解环 3.4 小结 * 3.1 定义 在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环. 因此, 需要定义可以做“带余除法”的环. 定义 一个整环R叫做一个欧氏环，假如 （ⅰ）存在一个映射 (非零元所作成的集合) （ⅱ）给定了 的一个不等于零的元a， 的任何元 b 都可以写成 的形式，这里: 或是 例1 整数环是一个欧氏。因为： 是一个适合条件（ⅰ）的映射。给了整数 ，任何整数b是可以写成 的形式，这里 。 3.2 主要结论 定理 1 任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。 证明 我们看R的任一个理想A, 我们需要证明A是一个主理想。 如果A=0, 它是一个主理想(0) 如果 包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一个映射 ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元 有一个象 ，那么 是N的非空子集, 中一定有一个最小的(??)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对于A的任何不等于零的元 来说，都有 再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成 的形式，这里 因为a和b都属于A， 也属于A。若是 ， 那么有一个不等于零的元 r ，适合条件 与a的取法矛盾。这样， 3.3两个重要唯一分解环 由于上面的例同这个定理我们立刻有： 定理 2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。 另一中常见的欧氏环就是一个域上的多项式环。我们先证明一个引理。 引理 假定 是整环R上的一元多项式环， 的元 的最高系数 是R的一个单位。 那么 的任意多项式 都可以写成 的形式，这里 或是 或是 的次数小于 的次数n。 证明 (带余乘法的实施: 逐步消去最高项) 若 是或是 的次数小于n，那么我们取 就行了。 假定 ，我们取 ，那 么 或 的次数小于m。假定 或是 的次数 已经小于n，那么取 就行了。假如 的次数还大于n，用同样的方法我们可以得到 或是 的次数小于 。这样下去，我们总可以得到 或是 的次数小于n。证完。 由这个引理我们很容易证明 定理 3 一个域上的一元多项式环是一个欧氏环。 证明 利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件的映射，就是 域的每一个不等于零的元都是一个单位，所以由引理， 每一个 都可以写成 的形式，这里或是 或是 的次数小于 的次数n。 证完。 *