插值法(lagrange插值,牛顿插值).ppt

* * P44 3、4 本章作业 (2) Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的 (3) Newton插值余项公式对f(x)是由离散点给出或f(x)导数不存在时均适用 (4)但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线 在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导 等缺点 3、已知 在离散点有 ，试用牛顿插值法计算 的近似值，并由误差公式给出误差界，同时与实际误差作比较。 作出差商表，写出牛顿插值公式，计算 的近似值。 4、给出函数表 x -1 1 2 3 y=f(x) 3.5 5.4 7.2 5.5 * * 一、差分 定义： 2.4.1 差分及其性质 2.4 差分与等距节点插值 * * 依此类推 可以证明 如 * * 差分表 * * 二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系 * * 依此类推 由差商与向前差分的关系 Newton插值基本公式为 如果假设 1.Newton向前(差分)插值公式 2.4.2 等距节点插值公式 * * 则插值公式 化为 其余项 化为 * * 称 为Newton向前插值公式 插值余项为 * * 插值余项为 根据向前差分和向后差分的关系 如果假设 可得Newton向后插值公式 2.Newton向后(差分)插值公式 * * 由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式 一般也采用分段低次插值 分段线性Newton插值 (1) (2) Newton分段二次插值 2.4.3 等距节点插值公式的使用 * * (3) Newton分段三次插值 余项为 余项为 * * (4) 从(2),(3)两种情况可知,若 对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式 若 对分段三次插值也没有相应的插值公式 此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 余项为 * * (5) 插值余项为 分段线性Newton向前(差分)插值 (6) 分段二次Newton 向前(差分)插值 * * (7) 分段二次Newton 向后(差分)插值 依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项 在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? * * * * 若引入辅助函数 * * 根据Rolle定理, 再由Rolle定理, 依此类推 由于 * * 所以 因此 * * 则 注意:（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时 才能应用。 （2） 在 内的具体位置通常不可能给出， 所以，设 例1: 已测得某地大气压强随高度变化的一组数据 高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 . 压强 (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求1200米处的压强值. 解：设x为高度，y为大气压强的值， 选取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=-- -------------- y0 + --------------- y1 + --------------- y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1) * * 所以 y(1200) ? p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2) * * * * 例2: 解: * * 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象 * * * * P44 1、2 本章作业 拉格朗日插值多项式的缺点： （1）插值基函数计算复杂 （2）函数的高阶导数不易求 （3）高次插值的精度不一定高 1、给定正弦函数表如下，试用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估计误差。 0.5 0.6 0.7 0.47934 0.56464 0.64422 2、已知函数表 x 1.13 1.15 1.17 1.20 y=f(x) 1.191 1.395 1.593 1.790 应用拉格朗日插值公式计算f(