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《量子力学教程》习题解答 《量子力学教程》习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 目录 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子 第七章 自旋与全同粒子 ① 其相应的久期方程为 即 由归一化条件，得 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 式中 为归一化因子，即 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： 第五章 微扰理论 * * 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知 其中是不考虑这种效应的势能分布，即 为考虑这种效应后的势能分布，在区域， 在区域，可由下式得出， 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ， 及、得 ， 令，再由，得.所满足的超越方程为 用图解法求得，即得，将数据代入求得 第一章 绪论 1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 解： # 1.3. 氦原子的动能为，求时氦原子的de Broglie波长。 解： 其中， # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场，玻尔磁子，求动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量 可以化为 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为，相空间面积为 所以，能量 方法2：一维谐振子的运动方程为，其解为 速度为 ，动量为，则相积分为 ， ， （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得 再由量子化条件，以分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为 ，，由此得半径为，。 电子的动能为 动能间隔为 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为，所以当时，；当时，。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？ 解：转化条件为，其中为电子的静止质量，而，所以，即有 （电子的康普顿波长）。 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 可见无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： 在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∴波函数不能按方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程 在各区域的具体形式为 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须