量子力学第二节、近自由电子近似.pptVIP

第二节、近自由电子近似 自由电子的能量E=(?k)2/2m是连续谱，而孤立原子中电子的能量是一系列分立的能级。 晶体电子与自由电子的区别在于周期势场的有无。假设晶体中有一个很弱的周期势，电子的运动情况比较接近自由电子，同时能体现晶体中电子状态的特点。这样的电子叫做近自由电子。 一维情况为例 设周期势为 V（x），把它作为对自由电子恒定势场的一种微扰。则近自由电子的哈密顿算符?=?0+?′ （1） ?0= 是自由电子的哈密顿算符。 （2） 一、定态微扰法 1、根据量子力学的定态微扰理论，薛定谔方程??k(x) =E(k) ?k(x) 的解是 2、零级近似解E(0)(k)和?k(0)(x)就是自由电子的能量和波函数。 3、能量 一级修正项 二级修正项 含二级修正项的电子能量 4、波函数 一级修正项 其中 由于 因此 含一级修正项的电子波函数 二、简并微扰 1、当k2与(k-kh)2相近时，上述方法求得的波函数和能量的修正项就很大。而这时自由电子的k态与k’=k-kh态的能量相近，属于简并情况，应当用简并微扰方法处理。 2、简并态 由k2=(k-kh)2得kh(k-kh/2)=0 即：k=kh/2=h?/a k`=k-kh=- h?/a 一维情况下，简并态有两个 简并态的能量 3、简并微扰 简并微扰的零级近似波函数是自由电子简并态波函数的线性组合： 代入薛定谔方程，并积分得到： A、B不全为零的解的条件是 解得简并微扰态的能量 若两状态能量严格相等（即E(0)(k)= E(0)(k`)），则得到 波函数 适当选择原点使V（X）= V（-X），从而使Vh为实数，于是A/B=?1。 三、近自由电子能量和波函数的讨论 1、波矢k远离布里渊区边界 当k值离h?/a较远时，k’也远离边界（因为k- k ’ = h?/a），例如图中A点与A ’点。 由自由电子的E~k关系知，此时E(0)(k)与E(0)(k ’)有显著的差异。在弱周期势的前提下，有|E(0)(k)-E(0)(k ’)||Vh| 能量二级修正项及波函数的一级修正项都很小 在波矢远离布里渊区边界的情况下，近自由电子的能量、波函数与自由电子的能量和波函数极为相近。 2、k值接近布里渊区边界 当波矢k接近布里渊区边界时， k ’ = k- h?/a从反方向接近布里渊区边界。如图中的B与B ’ 、C与C ’ 。图6-7 设?为一小量， ?1，则 由简并微扰态的能量表达式有： 上面两式中最后一项分别表示以?为变量的开口向上和开口向下的抛物线。 在布里渊区边界附近，能量E+（K） 和E-（K）分别以抛物线形 式趋向Th+|Vh|和Th-|Vh| 3、k在布里渊区边界上 当k值等于h?/a时，k态与k’态的零级能量相等 由于弱周期势的作用，自由电子k=h?/a和k’=-h?/a两简并态的能量发生变化，一个升高|Vh|，另一个下降|Vh|（如B和B ’ ，C与C ’ ）图6-7 在布里渊区边界处能量发生跳变，形成禁带。禁带宽度 Eg=E+(K)-E-(K)=2|Vh| 禁带的产生 四、色散关系的三种图式 1、扩展区图式 直接由近自由电子模型得到 各能带分别画在各自的布里 渊区内。 E是k的单值函数 2、简约区图式 由于E是K的周期性函数，各 个能带在扩展区图式的基础 上平移在第一布里渊区表示出来。 E是 k的多值函数 这种图式应用最广 3、重复区图式 由于各个布里渊区是等价的，把简约区的E~k关系扩展到其它区而得到 五、近自由电子的状态密度 1、自由电子的状态密度函数 自由电子的状态密度与E1/2成正比，随E增大，Df(E)单调上升。 2、对于近自由电子，由于写不出适用于整个布里渊区的能量表达式，因而不能像自由电子那样给出适用于整个布里渊区的能态密度DN（E）的解析表达式。 3、二维正方晶格近自由电子的状态密度 色散关系 （1）同一长度的波矢在不同方向上接近布里渊区边界的程度是不同的。 （2）对于一个给定的能量EA，对应的自由电子波矢KF要小于近自由电子的波矢KN。 等能曲线