数值计算B大作业.doc

课 程 设 计 课程名称： 数值计算B 设计题目： 数值计算B大作业 学 号： 姓 名： 完成时间： 题目一：多项式插值 某气象观测站在8：00（AM）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 22.5 23.3 24.4 21.70 25.2 28.5 24.8 25.4 二、数学原理 假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x，y），……（x，y），插值多项式有如下形式： （1） 其中系数（i=0,1,2……n）为特定系数，可由插值样条（i=0,1,2……n）确定。 根据均差的定义，把x看成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f（）+f[]（） f[x, ]= f[]+f[x,] （） …… f[x, ，…x]= f[x, ，…x]+ f[x, ，…x](x-x) 综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f[]+f[]（）+ f[]（）（）+ …+ f[x, ，…x]（）…(x-x)+ f[x, ，…x,]= N（x）+ 其中 N（x）= f[]+f[]（）+ f[]（）（）+ …+ f[x, ，…x]（）…(x-x) （2） = f(x)- N（x）= f[x, ，…x,] （3） =（）…(x-x) Newton插值的系数（i=0,1,2……n）可以用差商表示。一般有 [] （k=0,1,2，……，n ） （4） 把（4）代入（1）得到满足插值条件N（i=0,1,2，……n）的n次Newton插值多项式 N（x）=f（）+f[]（）+f[]（）（）+……+f[]（）（）…（）. 其中插值余项为： 介于之间。 三、程序设计 function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) % y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式 % X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n为X的长度 for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y; s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); %输出y值 end L(k,:)=poly2sym(C); %输出多项式 syms M,X=[1,3,5,7];Y=[22.5,24.4,25.2,24.8];x=10; [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) y = 21.7313 A = 22.5000 0 0 0 24.4000 0.9500 0 0 25.2000 0.4000 -0.1375 0 24.8000 -0.2000 -0.1500 -0.0021 C = -0.0021 -0.1187 1.4521 21.1688 L = - x^3/480 -