数学题(一).doc

凤凰涅槃训练 数学专题 数学创新题(一) 集合类创新题 1.已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。 （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且 （Ⅲ）证明：当时，成等比数列。 对于数集，其中，，定义向量集 ，若对任意，存在，使得，则称具有性质．例如具有性质． （Ⅰ）若，且具有性质，求的值； （Ⅱ）若具有性质，求证：，且当时，； （Ⅲ）若具有性质，且、（为常数），求有穷数列的通项公式。 3.已知数集……具有性质P：对任意 的，，使得成立． （Ⅰ）与是否具有性质P，并说明理由； （）…； （Ⅲ）若，求数集中所有元素的和的最小值． 已知集合对于，，定义与的差为 与之间的距离为 （）证明：，且证明：，，三个数中至少有一个是偶数，中有（）个元素，记中所有两元素间距离的平均值为. 证明：. 5. 已知集合．，， 定义；； 与之间的距离为．时，设，．，求； （，且，使，则； （ⅱ）设，且．，使？ 说明理由； （Ⅲ）记．若，，且，求的最大值． 6.已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：， ． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明：； （Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论。 7.已知集合．对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素，都有，则称具有性质． 当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由．若时 若集合具有性质，那么集合是否一定具有性质？并说明理由； 若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值． ，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，. （Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：； （Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底. 9.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？ （二）数列类创新题 1.在数列中，，（为常数），则称为“等差比数列”下列是对“等差比数列”的判断： ①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列项为0 其中正确的判断是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ，的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为，其中，若一个99项的数列的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为（ ） A．991 B.992 C.993 D.999 3.设等比数列的首相为，公比为q ，则“ 0 且0 q 1”是“对于任意都有”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件 4.等差数列中，，，且，为其前项之和，则（ ） A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 5.设，将的最小值记为，则其中=__________________ .–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和=1+2+(2–1)=4，则当时，= ______________ ；根据、、，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和=__________. 7.已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明：，且; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）≤. 8.数列中，是函数的极小值点 （Ⅰ）当a=0时，求通项； （Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 9.已知数集具有性质；对任意的 ，与两数中至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，成等比数列. 10设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 11.对于数列,若存在常数M＞0,对任意的