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数学运算中多次相遇问题精要
“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲,直线型出题的模型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。现在我们分开一一进行讲解。首先,来看直线型多次相遇问题。
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍:
(一)两岸型
?????两岸型甲、乙两人相遇分两种情况,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇,考生对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇:
如下图,甲、乙两人从A、B两地同时相向而行,第一次迎面相遇在a处,(为清楚表示两人走的路程,将两人的路线分开画出)则共走了1个全程,到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处,共走了3个全程,则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程,依次类推得出:第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S,S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,分开看每个人都是2倍关系,经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
???????????????????相遇次数?????全程个数????再走全程数
???????????????????????1????????????1???????????1
???????????????????????2????????????3???????????2
???????????????????????3????????????5???????????2
???????????????????????4????????????7???????????2
???????????????????????…????????????…??????????…
???????????????????????n???????????2n-1?????????2
2、背面追及相遇
与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发,如下图,此时可假设全程为4份,甲1分钟走1份,乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a处,再经过1分钟,两人在b处迎面相遇,到第3分钟,甲走3份,乙走15份,两人在c处相遇。我们可以观察,第一次背面相遇时,两人的路程差是1个全程,第二次背面相遇时,两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推,得:第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。
(二)单岸型
?????单岸型是两人同时从一端出发,与两岸型相似,单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇:
????如下图,假设甲、乙两人同时从A端出发,假设全程为3份,甲每分钟走2份,乙每分钟走4份,则甲乙第一次迎面相遇在a处,此时甲走了2份,乙走了4份,再过1分钟,甲共走了4份,乙共走了8份,在b处迎面相遇,则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同,依次类推,可得出:当第n次碰头相遇时,两人的路程和为2ns。
2、背面追及相遇
????与迎面相遇相似,假设全程为3份,甲每分钟走1份,乙每分钟走7份,则第一次背面相遇在a处,2分钟后甲走了2份,乙走了14份,两人在b处相遇。第一次相遇,两人走的路程差为2S,第二次相遇两人走的路程差为4S,依次类推,可以得出:当第n次追及相遇时,两人的路程差为2ns。
“直线型”总结(熟记)
??????①两岸型:
???????????????第n次迎面碰头相遇,两人的路程和是(2n-1)S。
???????????????第n次背面追及相遇,两人的路程差是(2n-1)S。
??????②单岸型:
???????????????第n次迎面碰头相遇,两人的路程和为2ns。
???????????????第n次背面追及相遇,两人的路程差为2ns。
下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型:
{模型一}:根据2倍关系求AB两地的距离。
【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步,甲从A,乙从B同时出发,第一次相遇点距B
?60米,当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?
????????A、150???????????B、170????????????C、180????????????D、200
【答案及解析】B。如下图,第一次相遇在a处,第二次相遇在b处,aB的距离为60,Ab的距离为10。以乙为研究对象,根据2倍关系,乙从a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍,即为60×2=120米,Ab为10,则Aa的距离为120-10=110米,则AB距离
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