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定理:设X与Y独立,则 定理: 协方差 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY 性质 ① cov(X,Y)= cov(Y,X) ② cov(aX+c,bY+d)= abcov(X,Y) ③ cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y) 1.4.5 矩、协方差和相关系数 K阶原点矩 K阶中心矩 注 X,Y不相关,不一定有X,Y独立. 只有(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y独立?X,Y不相关. (4) X,Y独立 相关系数 a0时,ρXY=1 a0时,ρXY=-1 性质 例30 设(X,Y)服从二维正态分布,且X~N(1,9),Y~N(0,16), 解 =3 所以 =0 例31 (X,Y)的联合分布为: X -1 0 1 Y -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求相关系数ρXY,并判断X,Y是否相关,是否独立. 解 =0 {或者 =0} 由对称性得 EY=EX=0 EY2=EX2=3/4 另外 =1/8-1/8-1/8+1/8 =0 所以 Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0 即 X与Y不相关. =3/4 {或者 =3/4} 亦即 ρXY=0 另一方面 P(X=-1,Y=-1)=1/8≠ P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8) 所以X与Y不独立. 例32 随机向量(X,Y)~f(x,y)= 求X,Y的相关系数ρXY. 解 据定理2 =7/6 =5/3 由对称性得 =7/6 EY2=5/3 所以, DX=11/36, DY=11/36 =4/3 不独立 大数定理： 　　讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理 中心极限定理： 　　讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理 1.5 大数定理与中心极限定理 定理 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理) 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ20, 定理 棣莫佛-拉普拉斯定理(二项分布中心极限定理) 即X1,X2,…,X n,…为独立同服从B(1,p), X= ~B(n,p), 当n很大时,有近似结果X~N[np,np(1-p)]. 例33 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户 中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值. 解 设X表示100户中被盗索赔户数,则 X~B(100,0.2) 由棣莫佛-拉普拉斯定理得： X近似服从正态分布, EX=np=20, DX=np(1-p)=16, 所以 X~N(20,16) 所求 P(14≤X≤30) =0.927 例34 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。 * * 1.引进随机变量后将事件转化为随机变量在某范围的取值,事件的概率就成了随机变量在某范围取值的概率; 2.对离散型随机变量关键是搞清它取那些值以及取每个值的概率; 3.离散型随机变量的分布列有四个用处:一是用来验证所求分布列是否正确;二是用来判断给定的数列(有限或无限)能否成为一随机变量的分布列;三是用来确定待定常数(列方程);四是用来计算随机变量在某范围取值的概率. * 范例: 1.已知随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx, 求常数A,B,X的密度函数. * 因“五.一”放假,超级链接用于复习基本知识点,以方便后继课 * 范例: 1.证明:随机变量X服从一般正态分布等价于它的标准化随机变量服从标准正态分布. 注意:该结论不仅告诉我们一般正态与标准正态的关系,而且更重要的是告诉我们利用标准正态分布函数去计算一般正态变量取值的概率. 2.进一步有:正态变量的线性函数仍然是正态变量. 3.分布函数法是求连续型随机变量(c.r.v)函数的分布的一种重要方法,其步骤有三:首先从求新随机变量的分布函数着手,找出新,旧随机变量分布函数间的关系;其次是利用求导方法,找出新,旧随机变量密度函数间的关系;最后将旧随机变量的密度具体化. 4.求连续型随机变量函数的密度可用公式法求得（所用公式是用分布函数法求得的）,即先求出函数的单调区间,然后在每个单调区间中求出函数的密度,