数字图像处理第3章图像信号的正交变换北邮出版社2008103.ppt

图像处理 第3章 图像信号的正交变换 3.1 离散傅立叶变换 3.2 离散K-L变换 3.3 离散余弦变换 3.4 数字图像信号的正交基表示 3.5 沃尔什和哈达玛变换 3.1 离散傅立叶变换 3.1.1 一维离散傅立叶变换 设离散序列： 离散傅立叶正变换（DFT）： 离散傅立叶反变换（IDFT）： 1.δ函数及其性质 定义： 性质： (1) 筛选性质 (2) 尺度变化性质 (3) 乘积（取样） (4) 卷积性质 (5) 变换对 2. 频率域抽样定理（和时间域的抽样对称） 如果函数h(t)的持续时间有限，即： 则其傅氏变换H(f)能由其等间隔样本唯一确定： 3. 一维离散傅立叶变换（略） 4.离散卷积 设x(n)、h(n)是周期为N的周期函数，其离散卷积y(n)是一个周期为N的函数： 离散卷积定理： 离散相关： 离散相关定理： 3.1.2 二维离散傅立叶变换 1. 二维DFT的定义： {f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1} 的DFT: | F(u,v) |幅度谱 φ(u,v) 相位谱 【例3.2】图像的幅度谱、相位谱及其重建。 相位信息是以一种比较隐蔽的方式出现的，但非常重要，因为相位信息中携带着图像的位置信息，没有它将无法从频谱还原（IDFT）出原图像。 2. 二维DFT的性质（特性） (1) 变换的可分离性 (2) 旋转不变性 2）旋转不变性 在空间域和频率域引入极座标： (3.29) f(x,y)在空间域旋转角度θ0，F(u,v)在频域中也将旋转同一角度θ0 3. 二维DFT的实现 用两次一维DFT就可以实现二维变换： x，y分别与行、列坐标相对应： 用同一个（一维）变换程序： 3.2 离散K-L变换 K-L变换(Karhunen-Loeve Transform)，从图像的统计性质出发的变换 散的K-L变换: 特征向量变换、主分量变换、霍特林(Hotelling)变换，…… K-L变换式表示为： 其中 K-L变换也有反变换，可以从Y来重建X。由于A矩阵的各行都是正交归一化矢量，所以 ，可得： 优点：K-L变换的最大优点是去相关性能很好， 缺点： 二维K-L变换不是可分离的变换， 它是一种和图像数据有关的变换，必须计算 图像数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，计算量庞大， K-L变换难以实际应用。 3.3 离散余弦变换 3.3.1 一维DCT DCT变换的基本思想： 将一个实函数对称延拓成一个实偶函数， 实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数， DCT变换本质上仍然是傅立叶变换，但只有实数计算，计算简单。 一维DCT的定义： 设信号序列为{f(x)|x = 0,1,…,N-1}，其离散余弦的正变换： 逆变换: 一维DCT的正反变换的变换核： 矩阵形式： 3.3.2 二维DCT 二维图像信号序列{f(x,y)｜x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的二维DCT正变换： 二维DCT的逆变换： 二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的： 二维DCT的矩阵形式： 用两次一维DCT实现图像信号的二维DCT： 二维DCT的频谱分布特点：由于DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其谱域与DFT相差一倍，如图3.3所示。 3.4 数字图像信号的正交基表示 3.4.1 变换核的一般表达式 正反变换的通用形式： 正变换核：g(x,y,u,v) ；反变换核：h(x,y,u,v)。 可分离变换： 3.4.2 变换的矩阵表达式 可分离变的矩阵形式： 3.4.3 基本图像和基本频谱 二维正交变换