随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数.ppt

§1.2 条件期望和矩母函数 对于离散型随机变量X和Y.一般,对所有使P{Y=y}0的y,定义给定Y=y时X取x的条件概率为 而给定Y=y, X的条件分布函数为 给定Y=y, X的条件期望为 对于一般的连续型随机变量Y.由于P{Y=y}往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为: ①若对任何包含y的小区间?y总有P(Y??y)=0,则 定义为 P(X?A|Y=y)=0; ②若P(Y??y)0,则定义为 这里?y?0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0.除了个别例外的y值这一极限总是存在的. 而给定Y=y, X的条件分布函数为 如果存在一非负函数f(x|y)使得对任何集合A恒有 且 则f(x|y)称为在给定Y=y时X的条件密度. 显然有 条件期望通常统一记为 注: E(X|Y=y) 表示一个数值; E(X|Y) 表示随机变量. 例1.8 袋子中有3个相同的球,分别标号为1, 2, 3. 现从中随机地取出一个球, 记下标号(假设标号为k)后放回, 同时从袋子中去掉标号为1,…, k-1的球. 然后再随机地取一球记下标号. 分别用X和Y表示两次取球记下的标号,则 E(Y|X) 2 2.5 3 Pr 1/3 1/3 1/3 例1.9 扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验. 记S为n次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第T次试验.求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布,也即P(T=k|S=1). 解: 所以 命题1.1 ① 若X与Y独立,则 E(X|Y=y)=E(X); ② 条件期望的平滑性 ③ 对随机变量X, Y的函数?(X,Y), 有 证明: ③假设(X,Y)为离散型随机变量,则 矩母函数及生成函数 定义1.5 随机变量X的矩母函数定义为随机变量exp{tX}的期望,记作g(t), 即: 矩母函数的性质: ① 当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布; ② E[Xn] = g(n)(0), n ? 1; ③ 对于相互独立的随机变量X与Y, 则 gX+Y(t) = gX(t)gY(t). 注: 由于随机变量的矩母函数不一定存在, 因此现在常用特征函数E[eitX]代替矩母函数. 关于特征函数内容以及性质1, 可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材: [1] 丁万鼎等, 概率论与数理统计, 上海: 上海科学 技术出版社, 1988. 常见分布的矩母函数: 分布名称 概率分布或密度 矩母函数 二项分布 B(n,p) Poisson分布 Π(?) 正态分布 N(?,?2) 指数分布 P(?) 均匀分布 U[a,b] 解: 先算条件期望 例1.10 (随机和的矩母函数) 记X1, X2, …为一串独立同分布的随机变量, N为取值为非负整数的随机变量, 且N与X序列相互独立. 求Y的矩母函数. 于是有 进一步, 因此, 注意: g(0)=1 定义1.5 若X为离散随机变量, 则期望E(sX)为其概率生成函数, 记作?X(s), 即: 生成函数的性质: ① 生成函数与离散随机变量是一一对应的; ② ③ 对于相互独立的随机变量X与Y, 则 ?X+Y(s) = ?X(s)?Y(s). 性质: 若离散随机变量分布为 则 证明: 事实上, 课外作业： Page 13 Ex13，14，15，17