随机过程均方可积1.pptVIP

*西南科技大学 §5.2 随机过程的均方积分 本节主要介绍黎曼意义下的均方积分概念 一、均方积分概念 定义1 设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程, f(t),t∈[a,b]是普通函数,任意取分点a=t0 t1… tn=b ,将区间[a, b]分成 n 个小区间, 做和 若均方极限 存在, 且与区间[a, b]的分法及t*的取法无关,称为 二阶矩过程f(t)X(t)在[a, b]上的黎曼均方积分, 记为 特别当f(t)≡1, t∈[a,b] 则 称为随机过程{X(t),t∈[a, b]}在[a, b]上的均方积分. 定义2 设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程, f(t),t∈[a,b]是普通函数,任意取分点a=t0 t1… tn=b ,将区间[a, b]分成 n 个小区间, 若均方极限 存在, 且与区间[a, b]的分法及t*的取法无关,称为f(t)对二阶矩过程X(t)在[a, b]上的黎曼—斯蒂阶均方积分,记为 特别当W(t)是维纳过程 称为f(t)关于维纳过程的伊藤积分。 二、均方积分准则 设{X(t),t∈[a, b]}是二阶矩过程, f(t)是普通函数, f(t)X(t)在[a, b]上均方可积的充分必要条件是二重积分 定理1 存在,其中R(s,t)是X(t)的自相关函数.. 注1 有书认为必要性不成立，但未举出反例. 注2 若{X(t),t∈[a,b]}的自相关函数R(s, t)在 [a, b]×[a, b]上可积, 则X(t)在[a, b]上均方可积 推论1 实际推出重要公式 重要 公式 定义 广义黎曼均方积分定义为 推论3 存在的充分必要条件是广义二重积分 广义均方积分 存在且有限. 若X(t)在[a, b]上均方连续,则X(t)在[a, b]上 均方可积. 推论2 定理2 均方积分具有以下性质 1）均方积分是惟一的, 即 2) 均方积分具有线性性质, 若X(t),Y(t)在[a, b] 上均方可积, 则对 三、均方积分性质 特别有 3）均方积分具有对积分区间的可加性 以上各条性质类似于普通黎曼积分. 4）设X(t)在[a, b]均方连续, 则 若 f(t)X(t) 在[a, b]上均方可积,则有 定理3 均方积分的矩 定理1之注2 EX.1 设A, B相互独立同分布于N(0,σ2), X(t)=At+B, t∈[0, 1], 试求下列随机过程的数学期望. 四、均方不定积分 定义 设X(t) 在[a, b]在上均方连续, 对 称为X(t)在[a, b]上的均方不定积分. 设X( t )在[a, b]上均方连续,则其在[a, b]上 的均方不定积分 Y(t) 在[a, b]上均方可导, 且 定理4 (牛顿-莱布尼兹公式) 设X(t)在[a,b]上均方 可导, 定理5 EX.2 设X(t)=Acosat+Bsinat,t≥0, a为常数 a≠0, A与B相互独立,均服从N(0,σ2),判断X(t)是 否均方可积. RX(s,t)=E[X(s)X(t)] =E[A2cosas·cosat+B2sinas·sinat] RX(s,t)= σ2cosa (t－s). 在[0,+∞]×[0,+∞]上连续,故X(t) 对所有t≥0均 方连续, 从而均方可积, 且令 EX.3 设 其中,Y(t)是一个已知的均方连续二阶矩过程， 求X(t),并求其数字特征. 解 直接积分并代入初始条件, 得 EX.4 设{W(t),t≥0}为参数为σ2的维纳过程,求 积分过程 的均值函数和相关函数. 设s≤t s t u v u=v 由s 与t 的对称性 维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可 积的二阶矩过程. 均方可导 均方连续 均方可积 逆均不真 二阶矩过程的极限、连续、导数、积分， 其统计特征主要由相关函数表征. 五、正态随机过程的均方微积分 (实值)正态过程是重要的二阶矩过程,常见正态 过程的导数或积分问题. 正态随机变量序列的均方极限仍为正态 分布随机变量. 定理6 即若{Xn,n≥1}为正态随机变量序列 则X是正态随机变量. 由均方收敛性质 定理7 m维正态随机向量序列 的均方极限仍为m 维正态随机向量,即若 设{X(t),t∈T}为一个正态过程,且在T上均方 可微,则其导数过程 定理8 证