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* 上寨中学 申玉玲 问题1、经过平面上一个已知点,作已知圆的切线会有怎样的情形? ·O ·O ·O P · P· P· A 问题2、经过圆外一点P,如何作已知⊙O的 切线? O 。 A B P 思考:假设切线PA已作出,A为切点,则∠OAP=90°,连接OP,可知A在怎样的圆上? 在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 · O P A B 切线与切线长的区别与联系: (1)切线是一条与圆相切的直线; (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结论?并证明你所发现的结论。 A P O 。 B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理 A P O 。 B 几何语言: 反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法 我们学过的切线,常有 五个 性质: 1、切线和圆只有一个公共点; 2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 六个 A P O 。 B M 若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB A P O 。 B 若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC C 例.PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。 B A P O C E D (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (3)写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP (4)写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB (5)若PA=4、PD=2,求半径OA (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 。 P B A O (3)连结圆心和圆外一点 (2)连结两切点 (1)分别连结圆心和切点 反思:在解决有关圆的切线长的问题时,往往需要我们构建基本图形。 反思:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。 1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小 结: A P O 。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2.圆的外切四边形的两组对边的和相等 . o. o. o. . o 外切圆圆心:三角形三边垂直平分线的交点。 外切圆的半径:交点到三角形任意一个定点的距离。 三角形外接圆 三角形内切圆 . o 内切圆圆心:三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三角形任意一边的垂直距离。 A A B B C C 分析题目已知:如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ,且AB=9厘米,BC =14厘米,CA =13厘米,求AF、BD、CE的长。 A E C D B F O 例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B, 并与圆O的切线分别相交于C、D,已知 PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°, 求
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