静电场之点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律1.ppt

*{范例9.10} 点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律 一个带电平面，电荷面密度为σ(σ 0)，在平面上开有一个半径为a的圆孔。一个质量为m的点电荷-q静止在轴线上离环心为A处，求证：当振幅很小时，电荷做简谐振动。在一般情况下，电荷的运动规律是什么？(不计重力) [解析] 带电圆盘在轴线上的场强为 当a→∞时，可得无限大平面的场强 可见：无限在带电平面的电场是匀强电场，方向由z的符号决定。 如图所示，在电荷面密度为σ的平面上开一个圆孔，等效于在圆孔中填充一个电荷面密度为±σ的圆盘电荷，轴线上的电场强度是一个电荷面密度为σ的平面电荷和-σ的圆盘电荷共同产生的。 a z O σ m E F *{范例9.10} 点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律 一个带电平面，电荷面密度为σ(σ 0)，在平面上开有一个半径为a的圆孔。一个质量为m的点电荷-q静止在轴线上离环心为A处，求证：当振幅很小时，电荷做简谐振动。在一般情况下，电荷的运动规律是什么？(不计重力) 负的点电荷所受的电场力为F = -qE， 根据牛顿第二定律可得微分方程 当z a时可得 a z O σ m E F 可知：点电荷在小振幅的情况下做简谐振动。 其圆频率为 其周期为 *{范例9.10} 点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律 在一般情况下，点电荷受到孔心的吸引力，点电荷在孔心上下做周期性振动。 由于v = dz/dt， 电荷的运动方程可表示为 积分得 设t = 0时，初速度v = 0，初位移就是振幅z = A，所以 所以 电荷速度大小为 这是速度与坐标的关系。 当z = 0时，可得电荷运动到孔心的速度，即最大速度 振幅越大，点电荷的最大速度也越大。 *{范例9.10} 点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律 根据上述方程无法计算位移与时间的精确的解析解，但是可求周期的积分表达式。 电荷运动的周期为 周期由振幅决定。 由于 根据点电荷的运动方程，可求数值解，并与简谐振动进行比较。 简谐振动的位移可用余弦函数表示 速度为 当初位移为A = a时，周期T = 1.146T0，最大速度为0.91 aω0，负点电荷的位移和速度曲线都与简谐振动的位移和速度曲线十分吻合。 当A a时，负点电荷的位移和速度曲线都与简谐振动的位移和速度曲线吻合，只是周期有所不同。 当初位移A达到10a时，负的点电荷的位移曲线与简谐振动的位移曲线有一点偏离，从速度曲线可知：除了在孔心附近，点电荷接近于做匀变量直线运动。 这是因为在距离比较远的地方，有孔平面的电场接近于无孔平面的匀强电场。 点电荷的周期T达到2.864T0，最大速度为4.254 aω0。 MATLAB可视化大学物理学 周群益老师谢谢您的使用! 第九章结束 湖南大学物电院