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* * 直线与平面的位置关系 线 面 位置关系 垂直 斜交 a b 知识回顾 直线与平面的位置关系有哪几种? 观察下列图片,找出其中线面垂直的位置关系。 S S H H 正投影 o C A B S 回忆圆锥的形成, 思考轴SO与底面内的哪些直线垂直. 1、定义 直线与平面垂直 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. ? A 平面的垂线 直线的垂面 垂足A 2.图形语言: 直线与平面垂直 1.定义中“任何一条直线”能否改为 ”无数条直线”呢? 2.过空间一点和已知平面垂直的直线有几条呢? 3. 过空间一点和已知直线垂直的平面有几个呢? 直线与平面垂直 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面垂直. 常用结论: (1)若直线l垂直平面α,直线a在平面α内,则l⊥a. (3)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (4)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (2)若直线l垂直平面α内任意直线,则直线l垂直平面α。 a是α内任一条直线 (5)点到平面的距离的定义: 过平面外一点A向平面 引垂线,则点A和垂足B之间的距离叫做点A平面 的距离。 例1求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ? 已知:a//b,a ? ? 求证;b ? ? a b 证明:设m是?内的任意一 条直线 m 若 那么直线 吗? 提出问题: 假设书有无数页,竖立在桌面上,书脊所在直线与桌面给人以垂直的印象. 思考 ⑴书脊所在直线和各页面与桌面的交线的位置关系? ⑵书脊所在直线与桌面中任意一条的位置关系? m 问题:如图,要使书脊AB与桌面垂直,可否将若干书页取掉,但至少保留几页? 线面垂直判定定理探索 猜想:如果一条直线和 平面α内两相交直线都 垂直,那么这条直线就 垂直于这个平面. 线面垂直的判定定理 1 .定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。 3 .符号语言: 2 .图形语言: 4 .线线垂直 线面垂直 强调:(1)两条相交直线; (2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直. 判断下列命题是否真命题 (1)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就垂直于这个平面内的任何一条直线。 (2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么它就垂直于这个平面。 (3)一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么它垂直于这个平面。 (4)过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个 (5)过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条。 知识巩固 【例1】 已知 是平行四边形 两对角线的交点, 且 . 求证: 典例分析 典例分析 例2. 求证:与三角形的两边同时垂直的直线必与第三边垂直. A B C l 已知:如图,a⊥AC,a⊥BC,求证:a⊥AB. 证明:∵a⊥AC,a⊥BC,AC∩BC=C. ∴a⊥面ABC. ∵AB?面ABC, ∴a⊥AB. 思考:此例为”线线垂直”的判断提供了一种什么方法? 1. 如果已知一直线垂直于一平面,你能得 到一些什么结论? 线面垂直性质定理探索 2.如果两条直线都垂直于一个平面呢? a b 如图,若 o 线面垂直性质定理 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
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