直线和平面垂直的判定和性质(习题课).pptVIP

直线和平面垂直的判定和性质（习题课） ALCR A 一、概念回顾： 1、直线和平面垂直的定义：如果直线和平面内的所有直线都垂直，则就说这条直线和这个平面垂直。 2、直线和平面垂直的判定：如果直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 3、直线和平面垂直的性质： （1）如果直线和平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、唯一性定理： （1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 （2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点， 求证：PD⊥平面ABC. A B C P D 证明：PA=PB，D为AB中点 ∴ PD⊥AB，连接CD， ∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD ∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB ∴ PD⊥CD, CD∩AB = D ∴PD⊥平面ABC 例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB P Q O A B 证明：∵OA⊥α PQα ∴ OA⊥PQ OB⊥β, PQβ ∴ OB⊥PQ 又OA∩OB=0 ∴PQ⊥平面OAB 而AB平面OAB ∴ PQ⊥AB 例3、如图 空间四边形ABCD中，CD⊥BD 、CD⊥AD ，△ABC的平面内有一点P，过P在平面ABC内画一直线与CD垂直，应如何画？说明理由. A B C D P 解：过P作EF∥AB即可， ∵由已知可证CD⊥平面ABD 而AB平面ABD，∴CD⊥AB， 又EF∥AB ∴EF⊥CD 例4、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点. 求证：AB⊥MN A P B C D M N O 证明：连AC，取AC中点O， 连MO和NO ∵ ABCD是矩形 ∴AB⊥MO 又∵PA⊥平面ABCD AB平面ABCD ∴ PA⊥AB 又由NO∥PA ∴AB⊥NO ∴AB⊥平面MON 又MN平面MON ∴AB⊥MN 例5、正方体AC1的棱长为a （1）求证：BD⊥平面ACC1A1 （2）设P为D1D中点，求P到平面ACC1A1的距离. A B C D C1 B1 A1 D1 P 证明：（1）AA1⊥AB AA1⊥AD AB∩AD=A ∴AA1⊥平面ABCD 又BD平面ABCD ∴ AA1⊥BD 又AC⊥BD AA1∩AC=A BD⊥平面ACC1A1 (2)DD1∥AA1 DD1∥平面AA1CC1， AA1 平面AA1CC1 ∴DD1∥平面AA1CC1 ∴P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离, 也就是D到平面ACC1A1的距离，设AC∩BD=O，则即为DO的长度，∴P到平面ACC1A1的距离为 ALCR