直线间的夹角、平面间的夹角(第1课时)课件（北师大版选修2-1）.pptVIP

用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系： ①当cos〈a，b〉0时，cos θ＝－cos〈a，b〉， 当cos〈a，b〉≥0时，cos θ＝cos〈a，b〉，即cos θ＝|cos〈a，b〉|. ②当cos〈n1，n2〉≥0时，cos φ＝cos〈n1，n2〉， 当cos〈n1，n2〉0时，cos φ＝－cos〈n1，n2〉，即cos φ＝|cos〈a，b〉|. * * 第二章 §5 第一课时 把握 热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 理解教材新知 第一课时　直线间的夹角、平面间的夹角 山体滑坡是一种常见的自然灾害． 甲、乙两名科学人员为了测量一个山 体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m. 问题4：若n1，n2分别为两个平面π1、π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？ 1．两直线的夹角 当两条直线l1与l2 时，把两条直线交角中，范围在 内的角叫做两直线的夹角． 2．异面直线l1与l2的夹角 (1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则 和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角． 共面 直线l1 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉 平面π1 平面π2 直线l1和l2 [例1]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足． (1)求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值． [思路点拨]　要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得． 1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的 一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线的夹角为________． 2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直 线BA1与AC的夹角． 3. 如右图，在四棱锥P－ABCD中， PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°， 在四边形ABCD中，∠ADC＝ ∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1， AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值． 4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在 CC1且C1E＝3EC. (1)证明：A1C⊥平面BED； (2)求平面A1DE与平面BDE夹角的余弦值． 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 可知D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)． 问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？ 提示：，[0，π]． 问题2：直线AC与BD的夹角与〈，〉有什么关系？ 提示：当0≤〈，〉≤时，它们相等； 当〈，〉≤π时，直线AC与BD的夹角为π－〈，〉． 问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？ 提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，α＝π－〈，〉． 提示：当0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉； 当〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉． [0，] (2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1、s2. 当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于； 当〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于． 3．平面间的夹角 (1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在上作直线l1l，在上作直线l2l，则的夹角叫作平面π1与π2的夹角． (2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2， 当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉； 当〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉． 1．求空间角时，要注意角的范围． (1)异面直线夹角范围