非线性函数的线性化问题.pptVIP

X= 令P=1 令 ,求Pi 得 = = + 非线性函数的线性化问题 冯仲科 北京林业大学 2012.4.1 一.数学期望与方差性质 1. 随机变量的数学期望就是所有可能取值的概率平均值，简称均值，它有如下性质： （1）常数c的数学期望等于它本身，即 E(c)=c. （2）常数c与ξ之积的数学期望等于c与ξ的数学期望之积，即 E(cξ)=cE(ξ). （3）n个随机变量之和的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即 E(ξ1+ξ2+···+ξn)=E(ξ1)+E(ξ2)+···+E(ξn). （4）随机变量的线性函数 F=α1ξ1+α2ξ2+···+ αnξn= 的数学期望为 E( )= α1E(ξ2)+ α2E(ξ2)+···+ αnE(ξn). ) （5）n个相互独立的随机变量之积的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即 E(ξ1ξ2···ξn)=E(ξ1)E(ξ2) ···E(ξn). 2.随机变量的方差是描述随机变量所有可能取值离散程度的。在测量中就是中误差的平方，是一个精度指标。它有如下性质： （1）常数c的方差等于零，即 D(c)=0. （2）常数c与随机变量之积的方差等于c2与方差之积，即 D(cξ)=c2D(ξ). （3）n个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量的方差之和，即 D(ξ1+ξ2+···+ξn)=D(ξ1)+D(ξ2)+···+D(ξ3). （4）相互独立的随机变量的线性函数 F= α1ξ1+α2ξ2+···+ αnξn= 的方差为 D( )= D(ξ1)+ E(ξ2)+···+ E(ξn). 例.已知⊿=X-L,求真误差⊿的方差。 解：因X是常数，故有 D(⊿)=D(X)+D(L)=D(L), 亦即观测值L的误差方差D(⊿)等于观测值本身的方差D(L)。 例.求算术平均值 X= (L1+L2+…+Ln) 的方差。 解：D(x)= (D(L1)+D(L2)+···+D(Ln)). 如果D(L1)=D(L2)=···=D(Ln)=σ2,则上式为 D(x)= , 令 =σx，则有 σx= 式中σ和σx分别为观测值和算术平均值的标准差，标准差在测量中称为中误差。 二.协方差及其传播律 1.协方差的概念及定义 设有线性函数 z=f1x+f2y， 令x，y的真误差为⊿x，⊿y，则z的真误差⊿z为 ⊿z=f1 ⊿x+f2 ⊿y. ⊿y 它的中误差mxy为 mxy= . 当x与y彼此不独立，例如它们都是独立观测值L的函数： x=3L， y=4L， 则有 mxy= = =12 ≠0， 式中，mL为L的中误差， 为L的方差。 例.已知x=3L1-2L2，y=2L1+3L2，L1和L2相互独立且同精度，设L1和L2的方差均为m2，试判别x与y是否独立。 解：从x与y均是L1，L2的函数看，它们似乎相关，其实不一定。由已知关系得 ⊿x=3 ⊿L1-2 ⊿L2， ⊿y=2 ⊿L1+3 ⊿L2， ⊿x ⊿y=6 ⊿ -6⊿ +5⊿L1⊿L2 ， 顾及 =0，则x与y的协方差为 mxy= =6m2-6m2=0. 可见，此例x与y实为互相独立的观测值。 协方差有如下性质： （1）当随机变量X与Y独立时，有 σXY=0. （2）当X=Y时，有 σXY= = （3）当X与Y成线性关系：Y=aX+b， 式中，a、b为常数，则有 当a0