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关于两类求常微分方程初值问题近似解的研究 摘要 本文对文献[2][3][4][5]中所构造的求解常微分方程初值问题近似解的两类方法进行 了研究，发现各自所构造的方法的精度没有其所说的高，且都在证明相应的相容阶时把相应 的求积公式余项作为方法的局部截断误差看待，从而导致所求的相容阶错误．文献[7] 用类 似求 Runge-Kutta 法构造出了文献[5]中的一般公式的特例，但未对其相应的相容阶数给出推 导证明，只是引用文献[4][5] 的结论．本文将对各文献中的错误予以指出，给出各文献中所 构造的方法的正确的相容阶及利用 Newton-Cotes 和 Guass-Legendre 求积公式构造的多步法 的相容阶，最后给出了利用 Newton-Cotes 和 Guass-Legendre 求积公式构造精度高的一般性 的单步方法． 关键词 单步法 相容阶 Newton-Cotes 求积公式 Guass-Legendre 求积公式 预测-校正公式 1、引言 常微分方程初值问题为  y f (x, y)  x  ab, 1       y(a) yo 其中：y y(x) 是未知函数，y(a) y 是初值条件，f (x,y) 是给定的二元函数． o 虽然求解初值问题 （1）有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的 方程，在实际问题中主要是用数值解法得到初值问题 （1）的近似解．所谓数值解法就是能 算出精确解y(x) 在自变量x 的一些离散节点a x  x  ...  x  x  ...  x b上的 0 1 n n1 N 近似值y ,y ,...,y , y ,..., y 的方法．相邻两个节点的间距h x  x 称为步长；当 0 1 n n1 N n n1 n h h （常数）时，称为等步长，这时有x x nhn, 0,1,...,N. 对于初值问题 （1）的 n n 0 各种求解方法中有一种是基于数值积分的构造方法，一般取步长 h，对 x 从x 到x 积分得 n n1 xn1 y(x ) y(x )  f (x, y(x))dx 2 n1 n x   n xn1 再对x f (x,y(x))dx 用各种求积公式近似，得到多种数值近似方法，这些方法可分为 n 单步法和多步法两类．所谓单步法是计算y 时只用到y 的值，而多