关于自然对数的底e的阅读材料.pdf

2. 奇异的数e 说到无理数e 的来源，还要从对数表的制作开始． 早在16世紀末, 由于天文学和航海事業的蓬勃發展, 人們需要進行天文观测來确定星体 的位置和船只的方位． 這就遇到了大量繁杂的計算课题，需要人們去研究．这其中尤其 包含大量复杂的乘法和除法计算．天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的 “天文数字” ，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．为了确定一个星球的位置，常在计 算上花去几个月的时间．能否用加、减运算来代替乘、除运算，以使得计算过程得到简化？ 这是当时迫切需要思考的问题．对数就是在这样的背景下发明的． 约翰．纳皮尔是苏格兰的一位数学家．也是一位天文爱好者，为了简化计算，他多年 潜心研究大数字的计算技术，终于发明了对数． 利用对数表可以将乘法和除法转化为加法和减法．这样的对数表必须很方便地由真数 查到对数，反过来又能由对数很方便地查到真数． 考察下面以10为底的对数表： 真数N 10 12.5893 15.8489 19.9526 25.1189 31.6228 39.8107 对数b 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 10 10 10 真数N 10000 12589.3 …… 10 1.258910 1.5848910 …… 对数b 4 4.1 …… 10 10.1 10.2 …… 表1 从这张对数表看出，对数b 的间隔较小，分布均匀且已经比较密集．但是真数N 的取 值间隔过大，以至于许多真数都查不到它们对应的对数.因此这样的对数表应用价值不大． 为了使得真数之间的间隔变小，不应当取以10 为底的对数，而是应当取一个非常接 近于1 的数为底．这样一来，对于对数b 比较小的增量，所引起的真数N 的增量也比较小. 从而真数的分布就比较密集了. 下面以1.0001( 1r )为底数，重新构造与表1 相似的对数 表. 真数N 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005 1.006 1.007 对数b 10 20 30 40 50 60 70 真数N 1.008 1.009 1.01 …… 1.105 1.116 1.127 对数b 80 90 100 …… 1000 1100 1200 真数N …… 2.71815 3 3.32 …… 22015.5 24330.7 对数b …… 10000 11000 12000 …… 100000 100100 表2 从表２看出，真数的分布已经得到明显改善，分布比较密集且均匀．可以设设想，如 果取一个更为接近于1 的数（即1 加上一个更小的正数 ·例如a 1r 1.000001 ）为底， r 这种改善会更加明显. 但是又出现了一个新的问题：在对数表2 中，对数b 之间的间隔太大，这无疑也会影 响对数表的应用价值. 注意在上文我们已经将底数 表示成a 1r ，其中 是一个小的正数. （例如在表２ a r 中的底数为