离散型随机变量的期望１.ppt

* * * * 离散型随机变量的 期望与方差 １、ξ ＝k　表示（其中p表示某事件发生的概率，q＝１－p） n次独立重复试验中某事件恰好发生的次数 随机变量ξ的概率分布(某事件具体何时发生不定,但发生k次) … … P n … k … 2 1 0 ξ ２、ξ ＝k表示 k次独立重复试验中某事件第一次发生 … … P … k … 2 1 ξ （某事件必在第k次发生,前k-1次不发生） 0.22 0.29 0.28 0.09 0.06 0.04 0.02 P 10 9 8 7 6 5 4 ξ(甲得分) 0.01 0.10 0.32 0.38 0.05 0.03 0.11 P 11 10 9 8 7 6 5 η(乙得分) 资料表明： 花落谁家？ 这是一次难得的机会! 甲 非我莫属 !! 乙 思考：评分标准是什么？是不是看最高分？ 不是。平均分 　　　平均分如何计算？ 0.22 0.29 0.28 0.09 0.06 0.04 0.02 P 10 9 8 7 6 5 4 ξ(甲得分) 下面就来算一下甲在比赛中的平均得分情况 设进行n次比赛 P(ξ=4)×n= ______次得4分 ______次得5分 ______次得10分 …… 0.02n 0.04n 0.22n …… P(ξ=5)×n= P(ξ=10)×n= 则甲n次比赛中总分数为 4×0.02n+5×0.04n+……+10×0.22n =n(4×0.02+5×0.04+……+10×0.22) 则n次比赛中平均分数等于： 4×0.02+5×0.04+……+10×0.22 =8.32＝ Eξ 0.22 0.29 0.28 0.09 0.06 0.04 0.02 P 10 9 8 7 6 5 4 ξ(甲得分) 0.01 0.10 0.32 0.38 0.05 0.03 0.11 P 11 10 9 8 7 6 5 η(乙得分) 这是一次难得的机会! 这是一次难得的机会! 资料表明： 花落谁家？ Eξ= 4×0.02+5×0.04+……+10×0.22 =8.32 Eη=8.11 称它为乙比赛所得分数的期望。 它刻划了随机变量的取值的平均值。 反映了运动员的得分水平,是判断依据 1、数学期望 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … … ξ 则称 为ξ的数学期望 又称为期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 或平均数、均值 说明： 1)期望是算术平均值的概念的推广,是概率意义下的平均。 2)Eξ是一个实数, 由ξ的分布列唯一确定， 即作为随机变量ξ是可变的， 而Eξ是不变的。 即随机变量取值与相应概率值乘积的和。 … xn … x2 x1 ξ … pn … p2 p1 P … … η … xn … x2 x1 ξ … pn … p2 p1 P … axn+b … ax2+b ax1+b η … xn … x2 x1 ξ … pn … p2 p1 P … axn+b … ax2+b ax1+b η η的分布列： 在η =aξ+b中： ax1+b ax2+b axn+b 若ξ为离散型随机变量 ,则η也为离散型随机变量 一一对应 … axn+b … ax2+b ax1+b η … … P η的分布列： 随机变量ξ的线性函数η=aξ+b的期望等于随机变量ξ期望的线性函数。 3)当b=0时,E ( aξ )=a Eξ 2)当a=1时,E ( ξ+b)=Eξ+b 1)当a=0时,E(b)=b 常数与变量ξ乘积的期望等于常数与变量ξ期望的乘积 常数的期望就是常数本身。 变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和 例1：篮球运动员在比赛四每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球的概率为0.7，求他罚一次的得分ξ的期望。 解：运动员所得分数的概率分布为 P 1 0 ξ ∴Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1) =0×0.3+1×0.7=0.7 步骤： (1)列出相应的分布列 (2)利用公式 0.3 0.7 例2：随机抛一个骰子，求所得的点数ξ的期望。 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 P 6 5 4 3 2 1 ξ 解：抛掷 骰子所得点数ξ的概率分布为 *