离散数学代数结构.pptVIP

代数结构 代数结构部分 第5章 代数系统的一般性质 第6章 几个典型的代数系统 第5章 代数系统的一般性质 5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统及其子代数和积代数 5.3 代数系统的同态与同构 5.1 二元运算及其性质 二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质 交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元 二元运算的定义及其实例 二元运算的实例（续） 一元运算的定义与实例 二元与一元运算的表示 算符：°, ?, · , ?, ? 等符号 表示二元或一元运算 对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x°y = z； 对一元运算 °, x 的运算结果记作 °x 表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符 二元与一元运算的表示（续） 运算表的形式 运算表的实例 运算表的实例（续） 二元运算的性质 实例分析 二元运算的性质（续） 二元运算的特异元素 二元运算的特异元素（续） 二元运算的特异元素（续） 实例分析 惟一性定理（续） 消去律 定义 设°为V上二元运算，如果? x, y, z?V， 若 x ° y = x ° z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ° x = z ° x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 ° 运算满足 消去律. 实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律 幂集P(S)上?满足消去律 Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律. 例题分析 例题分析（续） 例题分析（续） 例题分析（续） 由运算表判别算律的一般方法 交换律：运算表关于主对角线对称 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致 消去律：所在的行与列中没有重复元素 单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致 零元：元素的行与列都由该元素自身构成 A 的可逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立 * * 定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. (1)保证参加运算的可以是S 中任意两个元素； (2)运算的结果也是S中的一个元素 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. f：N×N→N, f(x,y)=x+y (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. ? (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai °aj = ai ， °为 S 上二 元运算. (5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即   矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, ?. (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算°. 定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: ?求倒数 (3) 复数集合 C 上的一元运算: ?求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~? (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，A?SS: 求反 函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵 公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算 ?： ?x, y∈R, x ? y = x. 那么 3 ? 4 = 3 0.5 ? (-3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算） °a1 °a2 . . . °an a1 a2 . . . an a1°a1 a1°a2 … a1