离散数学第九章代数系统.pptVIP

第三部分 代数结构 主要内容 代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数 半群与群----半群、独异点、群 环与域-----环、整环、域 格与布尔代数----格、布尔代数 第九章 代数系统 主要内容 二元运算及其性质 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 积代数 代数系统的同态与同构 9.1 二元运算及其性质 定义9.1 设S为集合，函数f：S?S?S 称为S上的二元运算，简 称为二元运算． S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭． 实例 (4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即   则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则∪、∩、－、? 为P(S)上二元运算. (6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算?为SS上二元运算. 一元运算的定义与实例 定义9.2 设S为集合，函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. 例2 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上 的一元运算? (2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元运算? (3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算? (4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.? (5) 设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，A?SS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算. (6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算. 二元与一元运算的表示 1．算符 可以用?, ?, · , ?, ?,? 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算?，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x?y = z 对一元运算?, x的运算结果记作?x. 二元运算的性质 定义9.3 设?为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y∈S 有 x?y=y?x, 则称运算在S上满足交换律. (2) 若对任意x,y,z∈S有 (x?y)?z=x?(y?z), 则称运算在S上满足结 合律. (3) 若对任意x∈S 有 x?x=x, 则称运算在S上满足幂等律. 实例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n?2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|?2 实例 Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n?2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|?2 特异元素：单位元、零元 定义9.5 设?为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)?S，使得对任意 x∈S 都有 el?x = x (或 x?er = x)， 则称el (或er)是S中关于?运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于?运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于?运算的单位元. 单位元也叫做幺元. (2) 如果存在? l (或? r)∈S，使得对任意 x∈S 都有 ? l ?x = ? l (或 x? ? r = ? r)， 则称? l (或? r)是S 中关于?运算的左(或右)零元. 若? ∈S 关于?运算既是左零元又是右零元，则称?为S上关 于运算?的零元. 可逆元素和逆元 (3) 设?为S上的二元运算, 令e为S中关于运算?的单位元. 对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl?x=e（或x?yr=e） 则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于?运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的. 实例 惟一性定理 定理9.1 设?为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于?运算的惟一的单位元. 证： el = el?er  (er为右单位元) el?er = er  (el为左单位元) 所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e?也是 S 中的单位元，则有 e?=e?e ?= e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意： 当 |S| ? 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元. 惟一性定理 定理9.2 设?为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元,