马尔可夫链分析法.pptVIP

马尔可夫链分析法 马尔可夫链 马尔可夫链：一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关。这种性质称为无后效性。 形象示意：青蛙在若干荷叶上跳跃,下一位置仅与当前位置有关。 状态概率向量：设马尔可夫链在 tK 时取状态E1 E2 … En的概率分别为p1 p2 … pn 而0≤Pi≤1， 则向量［P1P2 … Pn］称为tK时的状态概率向量。 一步转移概率： 设系统可能出现N个状态E1 E2 … En，则系统由tK时刻从Ei转移到tk+1时刻Ej状态的概率就称为从i到j的转移概率. 状态转移概率矩阵 状态转移概率矩阵：在一定条件下，系统只能在可能出现的状态E1 E2 … En中转移，系统在所有状态之间转移的可能性用矩阵P表示，称P为状态转移概率矩阵。 转移概率矩阵具有下述性质: 正规概率矩阵及性质 概率向量：元素均为非负数且总和为1的向量。 概率矩阵：方阵的各行(或各列)都是概率向量。 概率阵性质：若A、B是概率阵，则AB、An也是。 固定概率向量(均衡点)：若U是n维概率向量,A是n阶方阵，且有UA=U，则称U是A的均衡点。 正规概率矩阵：对概率阵P，若存在某个正整数m,使得Pm所有元素大于零,则称P为正规概率矩阵。 正规概率阵P的性质： 多步转移 多步转移概率: 若系统在时刻t0处于状态i,经过n步转移，在时刻tn处于状态j，这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率,记为 性质1:设一步转移概率矩阵为 P(1)=P 则P(n)=Pn 。 性质2：系统处在 j 状态的概率与它在很远的过去处在什么情况无关。 市场占有率预测示例之一—内容 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3 0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为P。试求本月份和下月份的市场占有率？ 解：1、求本月份市场占有率 2、求下月份市场占有率 计算结果说明，在顾客(或用户)购买偏好改变不大情况下，下个月A牌洗衣粉市场占有率22.5%，B牌洗衣粉市场占有率为34.7%，C牌洗衣粉的市场占有率为42.8%。 状态转移概率的估算 估算方法一般有二种:一是主观概率法(缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用)。二是统计估算法。 [例]设味精市场的销售记录共有6年的24个季度的数据见表。试求味精销售状态转移概率矩阵。 上表中共有24个季度数据，其中有15个季度畅销,9个季度滞销。经统计得出连续畅销7次、由畅销转为滞销7次、由滞销转为畅销7次和连续滞销2次。 转移概率统计估算方法 对于一般的情况，假定系统有m种状态S1,S2,...,Sm，根据系统的状态转移的历史记录，得出各状态间转移次数得分类统计表格，由此估计状态i转移到状态j的转移概率pij。 期望利润示例 某品牌味精市场销售情况有畅销1、滞销2两状态。转移概率分别为p11=0.6,p12=0.4,p21=0.54,p22=0.46构成转移概率矩阵P；获利情况为r11=30,r12=10,r21=15,r22= -10构成利润矩阵R。预测三期后的期望利润。 解：用Vi(n)表示在i状态下转移n期后的期望利润,可构成各状态转移n期后期望利润列向量V(n),则： 若当前畅销,则三期后期望利润为50.76,当前滞销,则三期后为31.08。 期望利润预测公式 有利润的马氏链: 若状态i转入状态j的概率为pij,记P=(pij),同时产生利润rij, 由rij构成的矩阵R=(rij)称利润矩阵。通常称转移概率矩阵和利润矩阵为带利润的马氏链。 马尔可夫链的转移概率决定状态转移过程中利润值的概率分布。设Vi(k)表示状态i经k步转移后的期望向量,记V=(V1(k), V2(k),…, Vn(k))T，则 期望利润示例的R程序 P=matrix(c(0.6,0.4,0.54,0.46),ncol=2,byrow=T);P #建概率阵 R=matrix(c(30,10,15,-10),ncol=2,byrow=T);R #建利润矩阵 v11=P[1,]%*%R[1,];v11 # 运算符%*%夹在向量间表示求内积 v12=P[2,]%*%R[2,];v12 V1=rbind(v11,v12);V1 # 计算出一期后的期望利润向量 V1=matrix(diag(P%*%t(R)),ncol=1);V1 # 与上3句等效 V2=V1+P%*%V1;V2 # 计算出二期后的期望利润向量 V3=V1+P%*%V2;V3 # 计算出三期后的期望利润向量 期望利润预测步骤 1.进行统计调查：首先查清销路的变化情况，即查清由畅销到滞销或由滞销到畅销，连续畅销或连续滞销的可能性是多少，计算P。其次，统计出由于销路的变化，获得的利润和亏损情况，计算R。