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第七节 马尔可夫预测方法 几个基本概念 状态、 状态转移过程、 马尔科夫过程、 状态转移概率 状态转移概率矩阵 马尔可夫预测法 状态转移概率 状态转移概率矩阵 本节主要内容 1 马尔可夫预测 马尔可夫预测是一种预测事件发生的概率的方法，它基于马尔可夫链，根据事件目前的状况预测其将来各个时刻变动状况。 1.1 相关概念 状态：某一事件在某一时刻出现的某种结果。如，农业收成预测中有“丰收”、“平收” “欠收”等状态；人口构成预测中有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“老年”等状态 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态。如，天气从“阴天”变为“晴天”。 若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集 E={E1,E2,…,En} 中，且仅出现其中一个，则称事件Ei∈E为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状态Ei。 状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。 马尔可夫过程： 现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。 时间和状态都离散的一系列马尔可夫过程的整体又称为马尔可夫链。 状态转移概率：事件发展过程中，从某一种状态出发，到下一时刻转移到其他状态的可能性。由状态Ei转为Ej的概率记为P（Ei→Ej） 状态转移概率矩阵：某一事件的发展过程有N个可能状态，E1,E2,…,EN。记为Pij状态Ei转为Ej的概率，则： 为状态转移概率矩阵，其中Pij满足条件： 马尔可夫预测过程 状态概率： 表示事件在初始状态为已知条件下经k 次转移后在k时刻处于状态Ej的概率。显然有： 马尔可夫预测过程 例 考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态，E3为“欠收”状态。表3.7.1给出了该地区1960～1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 　某地区农业收成变化的状态转移情况 年份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2 表中可以知道，在15个从E1出发（转移出去）的状态中， 有3个是从E1转移到E1的（即1→2，24→25，34→35） 有7个是从E1转移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16， 29→30，35→36，39→40） 有5个是从E1转移到E3的（即6→7，17→18，20→21， 25→26，31→32） 同理可得： 该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为 状态概率及其计算 状态概率 ：表示事件在初始（k＝0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态 的概率。 且： 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有 记行向量 ，则由（3.7.7）式可以得到逐次计算状态概率的递推公式： （3.7.6） （3.7.7） （3.6.8） 式中， 为初始状态概率向量。 第k个时刻（时期）的状态概率预测 如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式(3.7.8)式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率，即